Переход от базисных атомных орбиталей к симметризованным атомным орбиталям и решение уравнения Шредингера для каждого неприводимого представления

(7.1)

-симметризованная атомная орбиталь (САО)

i -номер САО в данном неприводимом представлении

g_β -порядок неприводимого представления

g -порядок группы

-проекционный оператор

-пробная функция из данного представления

α -номер оператора симметрии

β -номер неприводимого представления

χ_β -характер неприводимого представления

Пример 7.1.Переход от базисных атомных орбиталей к симметризованным атомным орбиталям и решение уравнения Шредингера для каждого неприводимого представления для молекулы BCl₃

Результаты действия на пробную функцию проекционного оператора

	E	C3±1	3C2	σh	S3+1	3σv
2s(B)	2s(B)	2s(B) 2s(B)	2s(B) 2s(B) 2s(B)	2s(B)	2s(B) 2s(B)	2s(B) 2s(B) 2s(B)
2рz(B)	2рz(B)	2рz(B) 2рz(B)	-2рz(B) -2рz(B) -2рz(B)	-2рz(B)	-2рz(B) -2рz(B)	2рz(B) 2рz(B) 2рz(B)
3s1	3s1	3s2 3s3	3s1 3s2 3s3	3s1	3s1 3s1	3s1 3s1 3s1
3px1	3px1	-1/2∙3px2+√3/2∙3py2 -1/2∙3px3-√3/2∙3py3	3px1 -1/2∙3px2+√3/2∙3py2 -1/2∙3px3-√3/2∙3py3	3px1	-1/2∙3px2+√3/2∙3py2 -1/2∙3px3-√3/2∙3py3	3px1 -1/2∙3px2+√3/2∙3py2 -1/2∙3px3-√3/2∙3py3
3py1	3py1	-√3/2∙3px2-1/2∙3py2 √3/2∙3px3-1/2∙3py3	-3py1 √3/2∙3px2+1/2∙3py2 -√3/2∙3px3+1/2∙3py3	3py1	-√3/2∙3px2-1/2∙3py2 √3/2∙3px3-1/2∙3py3	-3py1 √3/2∙3px2+1/2∙3py2 -√3/2∙3px3+1/2∙3py3
3pz1	3pz1	3pz2 3pz3	-3pz1 -3pz2 -3pz3	-3pz1	-3pz2 -3pz3	3pz1 3pz2 3pz3

а) A₁’

-I

φ_проб=2s(B)

Ψ₁=√(1/12) ∙(1∙2s(B)+ 1∙2s(B)+ 1∙2s(B)+ 1∙2s(B)+ 1∙2s(B)+ 1∙2s(B)+ 1∙2s(B)+ 1∙2s(B)+ 1∙2s(B)+

+ 1∙2s(B)+ 1∙2s(B)+ 1∙2s(B))

Ψ₁=2√3 ∙2s(B)

-IV

φ_проб=3s¹

Ψ₂=√(1/12) ∙(1∙3s¹+ 1∙3s²+ 1∙3s³+ 1∙3s¹+ 1∙3s²+ 1∙3s³+ 1∙3s¹+ 1∙3s²+ 1∙3s³+ 1∙3s¹+ 1∙3s²+ 1∙3s³)

Ψ₂=2√3 /3∙(3s¹+ 3s²+ 3s³)

-V

φ_проб=3p_x¹

Ψ₃=√(1/12) ∙(1∙3p_x¹+ 1∙(-1/2∙3p_x²+√3/2∙3p_y²)+ 1∙(-1/2∙3p_x³-√3/2∙3p_y³)+ 1∙(3p_x¹)+

+1∙(-1/2∙3p_x²+√3/2∙3p_y²)+1∙(-1/2∙3p_x³-√3/2∙3p_y³)+ 1∙3p_x¹+ 1∙(-1/2∙3p_x²+√3/2∙3p_y²)+

+1∙(-1/2∙3p_x³-√3/2∙3p_y³)+ 1∙(3p_x¹)+ 1∙(-1/2∙3p_x²+√3/2∙3p_y²)+1∙(-1/2∙3p_x³-√3/2∙3p_y³))

Ψ₃=2√3 /3 ∙(p_x¹-1/2∙3p_x²-1/2∙3p_x³+√3/2∙3p_y²-√3/2∙3p_y³)

Три САО неприводимого представления A₁’ дают 3 МО (Φ₁,Φ₂,Φ₃):

б) A₂’

-V

φ_проб=3p_y¹

Ψ₁=√(1/12) ∙(1∙3p_y¹+ 1∙( -√3/2∙3p_x²-1/2∙3p_y²)+ 1∙( √3/2∙3p_x³-1/2∙3p_y³)+ -1∙(-3p_y¹)+

+-1∙(√3/2∙3p_x²+1/2∙3p_y²)+-1∙(-√3/2∙3p_x³+1/2∙3p_y³)+ 1∙3p_y¹+ 1 ∙(-√3/2∙3p_x²-1/2∙3p_y²)+

+ 1∙( √3/2∙3p_x³-1/2∙3p_y³)+ -1∙(-3p_y¹)+-1 ∙(√3/2∙3p_x²+1/2∙3p_y²)+-1 ∙(-√3/2∙3p_x³+1/2∙3p_y³))

Ψ₁=2√3/3 ∙(3p_y¹-√3/2∙3p_x²-1/2∙3p_y²+ √3/2∙3p_x³-1/2∙3p_y³)

В неприводимом представлении A₂’ получается 1 МО (Φ₁):

в) A₂”

-III

φ_проб=2р_z(B)

Ψ₁=√(1/12) ∙(1∙2р_z(B)+ 1∙2р_z(B)+ 1∙2р_z(B)+ -1∙-2р_z(B)+ -1∙-2р_z(B)+ -1∙-2р_z(B)+ -1∙-2р_z(B)+ -1∙-2р_z(B)+ -1∙-2р_z(B)+

+ 1∙2р_z(B)+ 1∙2р_z(B)+ 1∙2р_z(B))

Ψ₁=2√3 ∙2р_z(B)

-VI

φ_проб=3p_z¹

Ψ₂=√(1/12) ∙(1∙3p_z¹+ 1∙3p_z²+ 1∙3p_z³+ (-1)∙( -3p_z¹)+(-1)∙(- 3p_z²)+(-1) ∙(-3p_z³)+ (-1)∙ (-3p_z¹)+ (-1)∙( -3p_z²)+(-1)∙(- 3p_z³)+ 1∙3p_z¹+

+1∙3p_z²+1∙3p_z³)

Ψ₂=2√3/3 ∙(3p_z¹+ 3p_z²+ 3p_z³)

Две САО неприводимого представления A₂’’ дают 2 МО (Φ₁,Φ₂):

г) E’

Из каждого представления E’ берем по одной волновой функции и решаем 4-х мерную задачу

{ Ψ₁, Ψ₃, Ψ₅, Ψ₇}→ {Φ₁,Φ₃,Φ₅, Φ₇}

Остальные { Ψ₂, Ψ₄, Ψ₆, Ψ₈} дадут такое же решение.

-II

Ψ₁=2р_x(B)

-IV

φ_проб=3s¹

Ψ₃=√(2/12) ∙(2∙3s¹+ -1∙3s²+ -1∙3s³+ 0∙3s¹+ 0∙3s²+ 0∙3s³+ 2∙3s¹+ -1∙3s²+ -1∙3s³+ 0∙3s¹+ 0∙3s²+ 0∙3s³)

Ψ₃=2/√6 ∙(2*3s¹- 3s²- 3s³)

-V

φ_проб=3p_x¹

Ψ₅=√(2/12) ∙(2∙3p_x¹+ (-1)∙(-1/2∙3p_x²+√3/2∙3p_y²)+ (-1)∙(-1/2∙3p_x³-√3/2∙3p_y³)+ 0∙(3p_x¹)+

+0∙(-1/2∙3p_x²+√3/2∙3p_y²)+0∙(-1/2∙3p_x³-√3/2∙3p_y³)+ 2∙3p_x¹+ (-1) ∙(-1/2∙3p_x²+√3/2∙3p_y²)+

+ (-1)∙(-1/2∙3p_x³-√3/2∙3p_y³)+ 0∙(3p_x¹)+0 ∙(-1/2∙3p_x²+√3/2∙3p_y²)+0 ∙(-1/2∙3p_x³-√3/2∙3p_y³))

Ψ₅=1/√6 ∙(4∙3p_x¹+ 3p_x²+√3∙3p_y²+ 3p_x³-√3∙3p_y³)

φ_проб=3p_y¹

Ψ₇=√(2/12) ∙(2∙3p_y¹+ (-1)∙( -√3/2∙3p_x²-1/2∙3p_y²)+ (-1)∙( √3/2∙3p_x³-1/2∙3p_y³)+ 0∙(-3p_y²)+

+0∙(√3/2∙3p_x²+1/2∙3p_y²)+0∙(-√3/2∙3p_x³+1/2∙3p_y³)+ (-2)∙3p_y¹+ 1 ∙(-√3/2∙3p_x²-1/2∙3p_y²)+

+ 1∙( √3/2∙3p_x³-1/2∙3p_y³)+ 0∙(-3p_y²)+0 ∙(√3/2∙3p_x²+1/2∙3p_y²)+0 ∙(-√3/2∙3p_x³+1/2∙3p_y³))

Ψ₇=1/√6 ∙(4∙3p_y¹+ √3∙3p_x²+3p_y²-√3∙3p_x³+3p_y³)

8 САО неприводимого представления E’ дают 8 МО (Φ₁,Φ₂,Φ₃, Φ₄,Φ₅,Φ₆, Φ₇,Φ₈):

д) E”

Из представления E’’ берем одну волновую функцию и решаем одномерную задачу { Ψ₁ }→ {Φ₁ } .

{ Ψ₂ } даст такое же решение.

-VI

φ_проб=3p_z¹

Ψ₁=√(2/12) ∙(2∙3p_z¹+ (-1)∙3p_z²+(-1) ∙3p_z³+0 ∙( -3p_z¹)+0 ∙(- 3p_z²)+0 ∙(-3p_z³)+ (-2)∙ (-3p_z¹)+ 1∙( -3p_z²)+1∙(- 3p_z³)+ 0∙3p_z¹+

+0∙3p_z²+0∙3p_z³)

Ψ₁=2/√6 ∙(2∙3p_z¹- 3p_z²- 3p_z³)

Две САО неприводимого представления E” дают 2 МО (Φ₁,Φ₂):

Поиск по сайту: