Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Электроны в кристаллах. Энергетические зоны в кристаллах

 


Для определенности рассмотрим кристалл в виде линейной цепочки периодически расположенных атомов (одномерный кристалл). Пусть a – период кристалла.

 

Обратная решетка такого кристалла будет также линейной (одномерной) с периодом равным .


Первая зона Бриллюэна занимает интервал от до , вторая зона Бриллюэна занимает интервал от до и от до , третья зона Бриллюэна занимает интервал от до и от до .

 

Рассмотрим с квантово-механической точки зрения трансляционное (направленное) движение связанного электрона такого одномерного кристалла под действием внешнего электрического поля , действующего вдоль цепочки атомов. Движение электрона под действием поля будем рассматривать не как движение микрочастицы, а как распространение электромагнитной волны вдоль цепочки атомов, в положительном направлении оси x, такую ситуацию можно создать в трех мерном кристалле, если приложить поле вдоль цепочки одинаковых атомов кристалла.

Связанный электрон кристалла, как коллективизированная частица локализован в достаточно большой области пространства: ∆x ~ L, тогда в соответствии с соотношением неопределенности ∆x∆p ~ ħ, неопределенность значения импульса связанного электрона и его энергии очень мала, потому что ∆x велико; следовательно в этом случае состояние связанных электронов можно описывать путем суперпозиции стоячих волн с близкими значениями волновых векторов; т.е. состояние связанного электрона мы можем описывать с помощью волнового пакета, движущегося со скоростью . С этой скоростью и перемещается электрон под действием электрического поля. Свободный электрон кристалла под действием электрического поля движется так, что его энергия в зависимости от волнового вектора изменяется по параболическому закону: .

Выясним в общих чертах характер зависимости энергии связанных электронов от волнового вектора . Для упрощения подхода к решению этой задачи заменим реальный потенциальный рельеф цепочки атомов системой потенциальных прямоугольных ям, находящихся друг от друга на расстоянии a и разделенных пря

 
 


моугольными потенциальными барьерами одинаковой толщины.

 

Пусть связанный электрон под действием внешнего электрического поля с силой начинает трансляционное движение из состояния характеризуемого, например и . Пусть электрическое поле направлено вдоль оси OX, как показано на рисунке. В данном случае связанные элементы движутся перпендикулярно стенкам потенциальных ям. На пути внешнее поле производит работу: , она затрачивается на изменение энергии электрона:

(1)

Скорость трансляционного движения электрона определяется скоростью движения волнового пакета:

(2)

Из (1) следует, что

(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

(4)

Или в векторной форме:

(5)

Изменение волнового вектора совпадает с направлением силы . Из (1) и (2) следует, что со временем значение волнового вектора увеличивается. В соответствии с соотношением , увеличение значения вектора соответствует уменьшению длины электронной волны.

Электронная волна в кристалле частично отражается от всех стенок потенциальных барьеров, унося с собой часть энергии электрона. До тех пор пока не выполнится условие Вульфа - Брэггов: , .

Отраженные волны будут иметь различные фазы. Накладываясь друг на друга они будут гасить эти волны и следовательно, прямая волна будет распространяться по кристаллу почти не рассеиваясь. Т.е. связанный электрон, параметры которого удовлетворяет соотношению Вульфа – Брэггов, будет двигаться как свободный электрон. Его энергия зависит от волнового вектора параболично. В нашем случае электронная волна перпендикулярна стенкам потенциальных барьеров: . Следовательно, соотношение Вульфа – Брэггов для нашего случая имеет вид:

(6)

Из (6) следует, что волновой вектор лежит на границе зон Бриллюэна, n = 1 – на границе первой зоны Бриллюэна, n = 2 – на границе второй зоны Бриллюэна и т.д.

Когда со временем значение волнового вектора будет принадлежать и соотношению (6), то фазы отраженных электронных волн будут иметь близкие значение и следовательно, отраженные волны будут ослаблять прямую волну. Когда значение волнового вектора в точности удовлетворяет условию Вульфа – Брэггов (6) интенсивность отраженной электронной волны будет совпадать с интенсивностью прямой волны.

Кроме того, эти волны имеют одинаковую частоту и поляризацию, т.е. в кристалле образуются две бегущие волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. В результате суперпозиции этих волн образуется стоячая волна. Значит, когда , электронные волны в кристалле – стоячие волны.

Из двух бегущих волн, как известно можно сформировать две стоячие волны, которые будут являться решением уравнения Шредингера для связанных электронов кристалла при :

(7)

(8)

Знак “+” означает, что функция - четная относительно x, “-” означает, что функция - нечетная относительно x.

Значит, в точке имеется два решения уравнения Шредингера, которому соответствует два разных значений энергий , т.е. в точке на границе зон Бриллюэна имеется скачок энергий. Величину скачка обозначим: .

Скачок энергии объясняется тем, что в этом случае имеются группировки элементов в разных по отношению к положительным ионам областям пространства. Функция дает пучности плотности электронного заряда в точках кристалла, соответствующих центрам положительных ионов, уменьшая тем самым их потенциальную энергию. Функция дает пучности плотности электронного заряда в точках кристалла по средине между соседними атомами.

Действительно плотность электронного заряда в точке или . - плотности зарядов.

(9)

(10)

Положение центров ионов: , Положение точек на середине между соседними атомами: ,

 
 


Легко показать, что и имеют максимальное значение в точках: и соответственно. ,

 

Значит, состояниям связанного электрона, характеризуемые волновыми векторами от 0 до (пол первой зоны Бриллюэна), соответствует интервал разрешенных энергий , минимальное значение энергии в котором , а максимальное значение энергии обозначим . Состояниям электрона в интервале от до (пол второй зоны Бриллюэна) соответствует интервал разрешенных энергий , минимальное значение в котором , а максимальное значение . В точке имеет место скачок энергий равный . Энергию внутри интервала электрон не может иметь, это зона запрещенных энергий. Состояниям электрона в интервале от до (пол третьей зоны Бриллюэна) соответствует интервал разрешенных энергий , минимальное значение в котором , а максимальное значение , и т.д.

 
 


Совокупность разрешенных энергий: , , и т.д. образуют зоны разрешенных энергий кристалла (или разрешенные энергетические зоны). Промежутки энергий: образуют зоны запрещенных энергий кристалла (смотри рисунок). На этом рисунке показана качественная зависимость энергии электронов в периодическом поле одномерного кристалла.

 

Вблизи точки Г . Очевидно первую зону энергии будут занимать сильно связанные электроны, т.е. те которые будут непосредственно возле ядра атомов. Вторую зону занимают электроны, которые находятся дальше от ядра и т.д. Самая верхняя заполненная зона будет содержать валентные электроны. Валентные электроны “чувствуют” влияние соседних атомов кристалла, поэтому их зона будет более широкой.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.