Означення. Якщо будь-яка пряма, яка проходить через внутрішню точку області паралельно осі , перетинає границю області у двох точках, а проекція на площину є правильною областю , то область називається правильною у напрямі осі . Аналогічно вводиться означення правильної області у напрямах осей і .
Нехай область обмежена знизу і зверху поверхнями і відповідно, а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні . Позначимо проекцію області на площину через .
Припустимо, що кожна пряма, яка паралельна осі і проходить через внутрішню точку області , перетинає область у точках і . Точку назвемо точкою входу в область , а - точкою виходу із області , їхні аплікати позначимо відповідно і . Тоді , і для будь-якої неперервної в області функції має місце формула:
. (1.5)
Тобто, щоб обчислити потрійний інтеграл, спочатку треба обчислити інтеграл по змінній , вважаючи, що змінні і сталі. Інтеграл називають внутрішнім інтегралом, бо
. (1.6)
Права частина формули (1.6) є подвійним інтегралом по області із підінтегральною функцією . Таким чином, формула (1.6) дає змогу звести потрійний інтеграл до подвійного.
Якщо область , наприклад, обмежена , , а , при чому і неперервні в області , а область задана відповідно так: , то переходячи від подвійного інтеграла у формулі (1.6) до повторного, одержимо формулу:
. (1.7)
Формула (1.7) зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування у формулі (1.7) може бути й іншим, тобто змінні , і за певних умов можна міняти місцями.
Перехід до циліндричних координат у потрійному інтегралі
Циліндричні і декартові координати пов’язані відношенням:
.
Потрійний інтеграл у циліндричних координатах має вигляд:
,
- задана на в декартовій ординат, - у полярній.
Перехід до сферичних координат у просторі
Сферичні координати , і декартові координати пов’язані відношенням:
.
А перехід від сферичних координат до декартових відбувається за формулою:
,
де область - задана на в декартовій системі координат,а - у полярній.
Застосування подвійних та потрійних інтегралів до задач
Механіки і фізики
Обчислення маси плоскої пластинки: Якщо пластинка лежить у площині і має форму замкненої області , в кожній точці якої задана поверхнева густина , то маса пластинки обчислюється за формулою:
.
Якщо матеріальне тіло має об’ємну густину , то маса тіла обчислюється за формулою: .
Обчислення статичних моментів: статичні моменти плоскої матеріальної пластинки визначаються за формулами:
.
Якщо тіло знаходиться у просторі , то статичні моменти тіла відносно координатних площин знаходяться за формулами:
.
Координати центра маси: координати центра маси матеріальної пластини обчислюються за формулами:
.
У випадку трьохвимірного простору:
ІДЗ №1
1. Представити подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням по і зовнішнім інтегруванням по , якщо область D задана вказаними лініями:
Область D зображена на рисунку 1.1, обмежена лініями , .
Рис. 1.1
Виразимо змінну через :
Знайдемо точки перетину ліній і :
- не задовольняє умову.
Отже, маємо:
.
2. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмежений вказаними лініями:
Область D зображена на рисунку 1.2.
Рис. 1.2
Оскільки область D симетрична відносно вісі , то:
.
3. Обчислити подвійний інтеграл, використовуючи полярні координати:
.
Область D зображена на рисунку 1.3.
Рис. 1.3
Перейдемо до полярної системи координат:
, , .
Маємо:
.
4. Обчислити площу плоскої області D, обмеженої заданими лініями:
.
Подана плоска фігура обмежена зверху параболою , а знизу прямою (рис. 1.4).
Рис. 1.4
Знайдемо точки перетину параболи із лінією:
Якщо , то .
Якщо , то .
Маємо точки перетину заданих ліній: (2;-6), (-2;-6).
Оскільки область D симетрична відносно осі Оу, то маємо:
.
5. За допомогою подвійних інтегралів обчислити в полярних координатах площу плоскої фігури, обмеженої вказаними лініями:
.
Перейдемо до полярної системи координат:
Рис. 1.5
Рівняння лінії у полярних координатах має вигляд: . Оскільки лінія симетрична відносно осі Ox й Оу, то площа плоскої фігури дорівнює:
.
6. Обчислити об’єм тіла, обмеженого заданими поверхнями:
.
Рис. 1.6
Дане тіло обмежено зверху площиною (рис. 1.6), тому його об’єм визначаємо наступним чином:
.
ІДЗ №2
1. Розставити межі інтегрування у потрійному інтегралі , якщо область V обмежена вказаними поверхнями. Накреслити область інтегруваня:
.
Область інтегрування зображена на рисунках 2.1, 2.1а.
Рис. 2.1рис. 2.1а
.
2. Обчислити потрійний інтеграл:
.
Область зображена на рис. 2.2. Рис. 2.2
.
3. Обчислити потрійний інтеграл за допомогою циліндричних або сферичних координат: .
На рисунку 2.3 зображена область V та її проекція D на площину .
Рис. 2.3
Виконаємо деякі перетворення рівнянь :
Перейдемо до циліндричних координат :
;
;
.
4. За допомогою потрійного інтеграла обчислити об’єм тіла, обмеженого вказаними лініями: .
Рис. 2.4
Рівняння визначає зрізаний циліндр, інші поверхні є площинами (рис. 2.4). Отже, маємо:
.
ІДЗ № 3
1. Обчислити масу неоднорідної пластинки D, обмеженої заданими лініями, якщо поверхнева густина в кожній точці :
.
Для обчислення маси плоскої пластини ,поданою поверхневою густиною скористаємось фізичним змістом подвійного інтеграла і формулою , де область інтегрування зображена на рисунку 3.1.
Отже, маса пластинки:
.
Рис. 3.1
2. Обчислити статичний момент однорідної пластини D, обмеженої вказаними лініями, відносно вказаної осі, використавши полярні координати:
.
Рис. 3.2
Перейдемо до полярних координат:
Статичний момент відносно осі даної пластини визначається за формулою . У полярній системі координат область D (рис. 3.2) перетворюється на область . Отже, маємо:
.
3. Обчислити координати центра мас однорідного тіла, що займає область V, обмежену заданими поверхнями:
.
Дане тіло (рис. 3.3 )симетричне відносно осі , тому , .
Рис. 3.3
Перейдемо до циліндричних координат за формулами:
Тоді одержуємо:
Отже, ,
а центр маси має координати
Список літератури
1. Тевяшев А. Д., Литвин О. Г., Кривошеєва Г. М. та ін.. Вища математика у
прикладах і задачах. Частина 2. – Харків: Фактор-Друк, 2002.
2. Ємець О. О., Недобачій С. І.. Методичні вказівки до виконання курсової роботи
з дисципліни «Математичний аналіз» (2-ий курс, 3-ій семестр) для студентів