Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

Зміст.

1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла.

2. Основні властивості невизначених інтегралів.

3. Таблиця основних інтегралів.

4. Основні методи інтегрування (безпосереднє, заміна змінної, частинами).

5. Найпростіші дроби. Розкладення раціональних дробів на найпростіші

6. Інтегрування раціональних дробів

7. Інтегрування деяких тригонометричних функцій

8. Інтегрування ірраціональних функцій

Ключові слова:первісна функція, невизначений інтеграл, підінтегральна функція, підінтегральний вираз, інтегрування, безпосереднє інтегрування, метод заміни, інтегрування частинами, раціональний дріб, правильний раціональний дріб, неправильний раціональний дріб.

Цілі та завдання вивчення розділу:успішне вивчення розділу дозволяє сформувати уявлення про невизначений інтеграл і його властивості, про операцію інтегрування, основні методи інтегрування; сформувати та розвинути навички обчислення невизначених інтегралів простих і складних функцій.

Методичні рекомендації до вивчення розділу: Зважаючи на те, що основні формули інтегрування отримують шляхом звернення формул для похідних, перед вивченням цієї теми необхідно повторити основні формули диференціювання функцій. Вивчаючи пункт 1, необхідно установити зв'язок між поняттями "первісна функція" й "невизначений інтеграл". Вивчаючи пункт 2, спробуйте довести основні властивості невизначених інтегралів. Вивчаючи пункт 3, спираючись на відповідні формули диференціювання функцій, з'ясуйте методи доведення табличних інтегралів та доведіть декілька з них. Вивчаючи пункт 4, зверніть увагу на те, що застосування всієї сукупності прийомів інтегрування дає можливість шляхом послідовних перетворень привести інтеграли до табличних, а, отже, виразити їх через елементарні функції; необхідно вміти обирати найпростіший спосіб інтегрування.

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

У диференційному численні однією з основних задач є обчислення похідної заданої функції. Інтегральне числення вирішує обернену задачу – відновлення функції по заданим її похідній або диференціалу.

Означення 1. Функція F(x) називається первісноюдля функції f(x) на даному проміжку, якщо в кожній точці цього проміжку .

Наприклад, F(x)=х³ є первісною для функції f(x)=3х², тому що . Легко помітити, що деякі інші функції, як, наприклад, F₁(x)=х³+2 або

F₂(x)=х³-12 та інші,теж будуть первісними для функції f(x)=3х², тобто дана функція f(x) має не одну первісну, а безліч, але всі вони відрізняються лише константою. Отже, якщо F(x) – одна з первісних для функції f(x), то F(x)+С – загальний вигляд будь-якої первісної для даної функції, де С – довільна стала.

Означення 2. Сімейство всіх первісних функції f(x) називається невизначеним інтегралом функції f(x) та позначається: =F(x)+С, де – знак інтеграла, f(x) – підінтегральна функція, f(x)dx – підінтегральний вираз, х – змінна інтегрування, dx – диференціал змінної інтегрування.

Очевидно, що невизначеному інтегралу на площині відповідає сімейство однакових кривих, зміщених вздовж осі ОY (зважаючи на те, що рівняння цих кривих відрізняються лише на сталу величину).

Обчислення невизначеного інтеграла називається інтегруванням функції. Для того, щоб перевірити, чи правильно виконане інтегрування, треба продиференціювати результат та одержати при цьому підінтегральну функцію.

Приклад. .

Перевіримо: .

Поиск по сайту: