Інтегрування раціональних дробів. Перед тим, як обчислювати інтеграли від раціонального дробу

Перед тим, як обчислювати інтеграли від раціонального дробу, треба впевнитися, що дріб правильний і його не можна скоротити. Обчислювати інтеграли від деяких найпростіших дробів ми вже навчилися:

1) ,

2)

.

3) Щоб обчислити інтеграл виду , треба в знаменнику виділити повний квадрат. Обчислимо, наприклад, .

,

.

4) Щоб обчислити інтеграл виду , треба в числівнику виділити похідну знаменника (щоб можна було її підвести під знак диференціала), а потім поділити почленно числівник на знаменник. Обчислимо, наприклад, . Похідна знаменника 2х+3.

Отже, 2х+1=(2х+3)-3+1=(2х+3)-2.

=

. Перший інтеграл обчислюється за формулою 6 таблиці інтегралів , а спосіб розв’язання другого розглянуто у попередньому прикладі.. Виділимо повний квадрат у знаменнику дробу:

;

.

Запишемо відповідь: =

, де С=С₁-2С₂.

Приклад 1.Обчислити інтеграли: а) ; б) ; в) . Розв’язання:

а) .

б)

.

в)

.

Приклад 2. Обчислити інтеграли: а) ; б) .

Розв’язання: а) ,

.

б) .

2 спосіб.

Не важко помітити, що дискримінант знаменника додатний, це значить, що знаменник можна розкласти на множники, а дріб на найпростіші дроби, але в даному випадку це не полегшить обчислення, а навпаки. Покажемо це.

х²-4х+2=0; х₁=2+ ; х₂=2- ,

х²-4х+2= .

1=А(х-2+ )+В(х-2- ),

1=Ах-2А+А +Вх-2В-В ,

1=(А+В)х+А(-2+ )-В(2+ ),

Отже, наш інтеграл можна записати як суму інтегралів.

Приклад 3. Обчислити інтеграли а) ; б) , в) ; г) .

Розв’язання: а) . Дискримінант знаменника від’ємний, значить на множники не розкладається. Виділимо в числівнику похідну знаменника: 3х-1=(2х-2) -1+3= (2х-2)+2. Отже,

Зауваження: Під знаком логарифма тричлен х²-2х+3 не взято за абсолютною величиною, тому що D<0, а коефіцієнт при х² додатний, значить при будь якому значенні х цей тричлен додатний. Цей факт треба мати на увазі.

б) . Знаменник можна розкласти на множники, тому що D>0, значить даний дріб можна представити у сумі найпростіших дробів. ,

5х-2=А(х-4)+В(х+2).

Визначимо коефіцієнт другим способом – способом задавання х часткових значень.

При х=4: 5·4-2=0+В(4+2), 18=6В, В=3.

При х=-2: 5·(-2)-2=А(-2-4)+0, -12=-6А, А=2.

Отже, даний інтеграл можна представити як суму двох інтегралів:

в) . Розкладемо знаменник на множники, згрупувавши попармо перші й останні члени:

(х³+2х²)+(2х+4)=х²(х+2)+2(х+2)=(х+2)(х²+2).

Дріб під знаком інтеграла набуває вигляду:

;

х+7=А(х²+2)+(Вх+D)(x+2),

x+7=Ax²+2A+Bx²+2Bx+Dx+2D,

x+7=(A+B)x²+(2B+D)x+2A+2D.

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях х ліворуч і праворуч:

Розв’язуючи систему, знайдемо А= ; В=- ; D= .

Отже, , тоді

.

г) . Під знаком інтеграла маємо неправильний дріб. Виділимо цілу частину дробу:

Тобто

Розкладемо знаменник правильного дробу на множники і представимо як суму найпростіших дробів.

,

х²+x+3=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1).

Будемо давати х частинні значення, що перетворюють множники на нуль. При х=0: 3=А(0-1)(0+1), А=-3.

При х=1: 5=2В, В= .

При х=-1: 3=-С·(-2), С= .

Тоді

Поиск по сайту: