Раціональним дробом називається відношення двох багаточленів
.
Якщо n<m , дріб називають правильним, якщо n≥m, дріб – неправильний. Усякий неправильний дріб можна представити у вигляді суми багаточлена (цілої частини дробу) і правильного дробу. Для цього достатньо поділити багаточлен чисельника на багаточлен знаменника „у стовпчик”. Отже, інтегрування неправильного раціонального дробу зводиться до інтегрування правильного раціонального дробу.
Дроби виду: 1) ; 2) , (n>0, );
3) ; 4) , (n>0, ), де А, В, a, p, q , а квадратний тричлен на множники не розкладається (має від’ємний дискримінант), називають найпростішими.
Теорема. Всякий правильний раціональний дріб , знаменник якого розкладено на множники:
можна представити в єдиний спосіб у вигляді суми найпростіших дробів:
,
де А1, А2, ..., . Наприклад,
1) ;
2) ;
3) .
Приклад 1. Розкласти на найпростіші дроби:
а) , б) , в) .
Розв’язання. а) Застосуємо засіб невизначених коефіцієнтів. Загальний вид розкладення буде такий:
.
Треба визначити коефіцієнти А, В, С. Помножимо обидві частини цього рівняння на знаменник лівої частини:
.
Ліва частина рівності буде дорівнювати правій тільки тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях х в обох частинах рівності будуть рівні між собою. Розкриємо дужки в правій частині та згрупуємо члени:
. Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях х в лівій та правій частинах і отримаємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:
Розв’язавши цю систему, визначимо: А=2, В=3, С=-1. Отже, даний дріб можна розкласти на найпростіші в такий спосіб:
.
б) . Спочатку треба розкласти знаменник на множники. .
Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях х в лівій та правій частинах і отримаємо систему чотирьох рівнянь з чотирма невідомими:
Розв’язавши систему, маємо А=1, В=-1, С=0, D=-1.
Отже, даний дріб можна розкласти на найпростіші в такий спосіб: .
в)
15x+6=A1(x-2)(x+4)+A2(x+1)(x+4)+A3(x+1)(x-2) (*).
Коефіцієнти А1, А2, А3можна визначити ще одним способом – способом задавання часткових значень (він застосовується, коли в знаменнику всі чи більшість множників лінійні).
Рівність (*) є тотожністю, отже, вона є вірною при любому значенні x. Будемо давати x такі значення, щоб в правій частині всі члени, крім одного, дорівнювали нулю. Такими значеннями у даному випадку є корені знаменника, тобто значення x=-1; x=2; x=-4;
При x=-1 в правій частині (*) всі доданки, крім першого, обернуться в нуль, а ліва частина рівності 15x+6 при x=-1 дорівнює -9. Отже, ми маємо:
-9=А1(-1-2)(-1+4)+0+0.
-9=А1(-3) 3; -9=-9А1 ; А1=1.
Аналогічно, підставивши в (*) x=2, отримаємо коефіцієнт А2.:
36=0+А2(2+1)(2+4)+0; 36=18А2; А2=2.
Нарешті, при x=-4 маємо: -54=0+0+А3(-4+1)(-4-2);
-54=А3(-3)(-6); -54=18А3; А3=-3.
Отже, даний дріб розкладується на найпростіші в такий спосіб: .
Зауваження. Розкласти дріб на найпростіші можна єдиним чином, тому незалежно від способу визначення коефіцієнтів, ми завжди отримаємо одні і ті значення.