Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Найпростіші дроби. Розкладення раціональних дробів на найпростіші



Раціональним дробом називається відношення двох багаточленів

.

Якщо n<m , дріб називають правильним, якщо n≥m, дріб – неправильний. Усякий неправильний дріб можна представити у вигляді суми багаточлена (цілої частини дробу) і правильного дробу. Для цього достатньо поділити багаточлен чисельника на багаточлен знаменника „у стовпчик”. Отже, інтегрування неправильного раціонального дробу зводиться до інтегрування правильного раціонального дробу.

Дроби виду: 1) ; 2) , (n>0, );

3) ; 4) , (n>0, ), де А, В, a, p, q , а квадратний тричлен на множники не розкладається (має від’ємний дискримінант), називають найпростішими.

Теорема. Всякий правильний раціональний дріб , знаменник якого розкладено на множники:

можна представити в єдиний спосіб у вигляді суми найпростіших дробів:

,

де А1, А2, ..., . Наприклад,

1) ;

2) ;

3) .

Приклад 1. Розкласти на найпростіші дроби:

а) , б) , в) .

Розв’язання. а) Застосуємо засіб невизначених коефіцієнтів. Загальний вид розкладення буде такий:

.

Треба визначити коефіцієнти А, В, С. Помножимо обидві частини цього рівняння на знаменник лівої частини:

.

Ліва частина рівності буде дорівнювати правій тільки тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях х в обох частинах рівності будуть рівні між собою. Розкриємо дужки в правій частині та згрупуємо члени:

. Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях х в лівій та правій частинах і отримаємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

Розв’язавши цю систему, визначимо: А=2, В=3, С=-1. Отже, даний дріб можна розкласти на найпростіші в такий спосіб:

.

б) . Спочатку треба розкласти знаменник на множники. .

х2+3=A(x+1)(x2+1)+B(x-1)(x2+1)+(Cx+D)(x2-1)=A(x3+x+x2+1)+

+B(x3+x-x2-1)+Cx3-Cx+Dx2-D=(A+B+C)x3+(A-B+D)x2+(A+B-C)x+(A-B-D);

Порівняємо коефіцієнти при однакових степенях х в лівій та правій частинах і отримаємо систему чотирьох рівнянь з чотирма невідомими:

Розв’язавши систему, маємо А=1, В=-1, С=0, D=-1.

Отже, даний дріб можна розкласти на найпростіші в такий спосіб: .

в)

15x+6=A1(x-2)(x+4)+A2(x+1)(x+4)+A3(x+1)(x-2) (*).

Коефіцієнти А1, А2, А3 можна визначити ще одним способом – способом задавання часткових значень (він застосовується, коли в знаменнику всі чи більшість множників лінійні).

Рівність (*) є тотожністю, отже, вона є вірною при любому значенні x. Будемо давати x такі значення, щоб в правій частині всі члени, крім одного, дорівнювали нулю. Такими значеннями у даному випадку є корені знаменника, тобто значення x=-1; x=2; x=-4;

При x=-1 в правій частині (*) всі доданки, крім першого, обернуться в нуль, а ліва частина рівності 15x+6 при x=-1 дорівнює -9. Отже, ми маємо:

-9=А1(-1-2)(-1+4)+0+0.

-9=А1(-3) 3; -9=-9А1 ; А1=1.

Аналогічно, підставивши в (*) x=2, отримаємо коефіцієнт А2.:

36=0+А2(2+1)(2+4)+0; 36=18А2; А2=2.

Нарешті, при x=-4 маємо: -54=0+0+А3(-4+1)(-4-2);

-54=А3(-3)(-6); -54=18А3; А3=-3.

Отже, даний дріб розкладується на найпростіші в такий спосіб: .

Зауваження. Розкласти дріб на найпростіші можна єдиним чином, тому незалежно від способу визначення коефіцієнтів, ми завжди отримаємо одні і ті значення.

Нерідко ці два способи комбінуються.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.