Інтеграли від деяких тригонометричних функцій

Тут ми розглянемо деякі простіші типи інтегралів від тригонометричних функцій.

I. Інтеграли вигляду .

Розглянемо два випадки.

1. Серед чисел і хоч би одне непарне. Припустимо для визначеності, що непарне, тоді . Маємо:

. , і далі інтеграл за допомогою формули бінома Ньютона розкладається на суму інтегралів від степеневих функцій.

2. Обидва числа і парні. Тоді застосуються наступні формули зниження степеня:

.

Приклади.

1.

.

2.

.

II. Інтеграли вигляду .

Такі інтеграли обчислюються за допомогою формул:

.

Приклад.

.

III. Інтеграли вигляду

.

Такі інтеграли обчислюються за допомогою формул:

,

,

.

Приклад.

.

IV. Інтеграли вигляду

, де – раціональна функція від , зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки:

. (11.1)

Тоді ,

.

Приклад.

.

Зробимо підстановку (11.1). Тоді матимемо:

.

Поняття про інтеграли, що не беруться.

Існують функції, первісні від яких не можна виразити через елементарні функції. Це не означає, що цих первісних взагалі не існує, вони лише зображуються іншими типами функцій. Тоді і інтеграли від таких функцій не можна записати через елементарні функції. До них відносяться наприклад такі:

– інтеграл Пуассона,

– інтеграли Френеля,

– інтегральний логарифм,

– інтегральний синус,

– еліптичний інтеграл.

Тем не менш такі інтеграли досить часто зустрічаються в прикладних задачах. Тоді користуються, як правило, наближеними методами їх обчислення.

Вправи.

1.Знайти інтеграли, користуючись тільки таблицею та основними властивостями інтегралів:

1) , 2) ,

3) , 4)

5) , 6) ,

7) , 8) , 9) , 10) ,

11) , 12) , 13) ,

14) , 15) . 16) , 17) ,

18) , 19) , 20) , 21) .

22) , 23) , 24) ,

25) , , 27) , 28) ,

29) , 30) , 31) , 32) ,

33) , 34) , 35) .

2.Обчислити інтеграли методом підведення під знак диференціала.

1) , 2) , 3) , 4) .

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) ,

16) , 17) , 18) , 19) ,

20) , 21) , 22) ,

23) , 24) , 25) ,

25) , 26) , 27) .

3.Обчислити інтеграли методом заміни змінної.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) .6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) . 16) ,

17) , 18) , 19) ,

20) , 21) , 22) , 23) .

4.Обчислити інтеграли методом інтегрування частинами.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) , 16) .

17) , 18) , 19) ,

20) , 21) , 22) , 23) ,

24) , 25) , 26) , 27) .

5.Обчислити інтеграли від функцій з квадратними тричленами та ті, що до них зводяться за допомогою відповідної заміни змінної.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) ,

8) , 9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) , 15) ,

16) , 17) , 18) ,

19) , 20) , 21) ,

22) , 23) .

6.Обчислити інтеграли від ірраціональних функцій.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

7.Обчислити інтеграли від тригонометричних функцій.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) , 7) ,

8) , 9) , 10) , 11) ,

12) , 13) , 14) , 15) ,

16) , 17) , 18) ,

19) , 20) ,

21) , 22) , 23) .

[1] Чебишов Пафнутій Львович (1821–1894) – видатний російський математик і механік.

Поиск по сайту: