Метод інтегрування за частинами

Нехай – неперервно диференційовні на деякому проміжку функції. Розглянемо диференціал їх добутку:

.

Зінтегруємо обидві частини цієї рівності:

.

Або:

(5.1)

Формула (5.1) називається формулою інтегрування за частинами. Вона „перекидає” символ диференціала з функції на функцію . Функцію у підінтегральному виразі підбирають таким чином, щоб інтеграл у правій частині формули (7.5.1) був простішим, ніж інтеграл у лівій частині цієї формули.

Розглянемо приклади.

1). .

Оберемо , тоді .

Згідно з формулою (5.1) маємо:

.

2) .

Оберемо Тоді маємо:

.

Чому ж першого разу ми обрали , а другого разу . Ось саме з метою спрощення інтеграла за рахунок формули (5.1). Саме з цих міркувань випливають наступні рекомендації щодо застосування цієї формули.

Якщо під знаком інтеграла міститься добуток степеневої функції на тригонометричну або показникові функцію (зокрема експоненту), то у якості варто обирати степеневу функцію.

Якщо під знаком інтеграла міститься добуток степеневої функції на логарифмічну або обернену тригонометричну, то у якості варто обирати відповідно логарифмічну або обернену тригонометричну функцію.

Іноді формулу (5.1) доводиться застосовувати декілька разів.

Приклади.

1).

.

2). .

Позначимо даний інтеграл через і застосуємо формулу (5.1), обравши . Тоді

.

Далі: . Отримаємо:

, тобто отримали рівняння відносно . Розв’язуючи його, маємо:

.

Найпростіші інтеграли, що містять квадратний тричлен.

Серед табличних інтегралів є такі:

, .

Покажемо, що до одного з них можна звести інтеграли вигляду:

– сталі.

Дійсно, виділимо у знаменнику підінтегрального дробу повний квадрат:

.

Далі можлива одна з 3-х ситуацій.

1) . Тоді інтеграл набуває вигляду:

.

2) . Тоді, позначивши , матимемо:

.

3) . Тоді, позначивши , матимемо:

.

Зауважимо, що аналогічним чином можна обчислити інтеграли вигляду:

, (6.1) зводячи їх до одного з інтегралів:

(при ).

(при ).

Перейдемо до прикладів.

1. .

2.

.

3.

.

Розглянемо інтеграл більш загального вигляду:

.

Виділимо у чисельнику підінтегрального дробу похідну його знаменника:

.

Тоді наш інтеграл приймає вид:

.

Перший з цих інтегралів дорівнює (згідно з формулою (4.2)), а другий обчислюється наведеним вище способом.

Аналогічно обчислюються інтеграли вигляду:

.

Їх теж можна розбити на два інтеграли, перший з яких має вид:

, а другий відноситься до виду (6.1).

Розглянемо приклади.

1.

.

2.

.

Поиск по сайту: