ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Раціональні функції складають важливий клас функцій, інтеграли від яких завжди виражаються через елементарні функції.

Деякі відомості про раціональні функції

Ціла раціональна функція

Означення. Многочленом (поліномом або цілою раціональною функцією) називається функція

, (4.1)

де – степінь многочлена (натуральне число);

– коефіцієнти многочлена (дійсні або комплексні числа).

Означення. Коренем многочлена (4.1) називається таке числове значення (дійсне або комплексне), при якому многочлен перетворюється в нуль, тобто .

Теорема 4.1. (Безу). Остача від ділення многочлена на різницю дорівнює .

Пояснимо зміст теореми Безу. При діленні многочлена -го степеня на двочлен першого степеня дістанемо деякий многочлен -го степеня і остачу – певне число:

. (4.2)

Теорема стверджує, що .

Зокрема, якщо – корінь многочлена , то

. (4.3)

Таким чином, з теореми Безу випливає

Наслідок. Якщо – корінь многочлена , то многочлен можна представити у вигляді добутку

. (4.4)

Виникає запитання. Чи всякий многочлен має корені? Позитивну відповідь на це запитання дає основна теорема алгебри.

Теорема 4.2 (основна теорема алгебри).Всякий многочлен степеня має хоча б один корінь (дійсний або комплексний).

З основної теореми алгебри випливає, що многочлен (4.1) завжди можна записати у вигляді (4.4). Неважко помітити (наприклад, з процедури ділення многочлена на двочлен «у стовпчик»), що старший коефіцієнт многочлена , тобто коефіцієнт при , дорівнює .

Приклад 4.1. Поділити многочлен на двочлен «у стовпчик».

Розв’язання.

Якщо степінь многочлена не дорівнює нулю, тобто , то до цього многочлена знов можна застосувати теорему 4.2 і наслідок з теореми Безу. Продовжуючи цей процес, приходимо до такого твердження.

Теорема 4.3.Всякий многочлен -го степеня можна подати у вигляді

, (4.5)

де – корені многочлена;

– старший коефіцієнт многочлена (коефіцієнт при ).

Вираз (4.5) називається розкладом многочлена на лінійні множники .

Якщо деякі з лінійних множників у виразі (4.5) однакові, то їх можна об’єднати. Тоді розклад (4.5) матиме вигляд

, (4.6)

де – число різних коренів;

– цілі числа, що називаються крайностями коренів

.

Корінь кратності одиниця називається простим.

Будемо надалі розглядати тільки многочлени з дійсними коефіцієнтами.

Серед коренів представлення (4.6) можуть бути і комплексні числа. Справедливе наступне твердження.

Теорема 4.4. Нехай + і – комплексний корінь многочлена (4.1) з дійсними коефіцієнтами. Тоді комплексно-спряжене число
– і також є коренем цього многочлена.

Перемножимо лінійні множники, що відповідають комплексно-спряженим кореням + і і – і у розкладі (4.6)

,

де , – дійсні числа.

Одержано квадратний тричлен з дійсними коефіцієнтами і від’ємним дискримінантом

.

Об’єднуючи у формулі (4.6) множники із комплексно-спряженими коренями, дістанемо

.

де – кратності дійсних коренів;

– кратності комплексно-спряжених коренів;

;

; ; – дійсні числа

Висновок. Всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти (і притому єдиним способом) на лінійні та квадратичні (з від’ємним дискримінантом) множники з дійсними коефіцієнтами.

Приклад 4.2.Розкласти на множники з дійсними коефіцієнтами многочлени

1) ; 2) ; 3) .

Розв’язання.

1) Розглянемо квадратний тричлен . Його дискри­мінант . При розкладанні на множ­ники квадратного тричлена у випадку користу­ються формулою

,

де – корені рівняння , що знаходяться за формулою

.

Знайдемо корені рівняння .

, .

Тому .

2) Розглянемо многочлен .

Для розкладання на множники застосуємо спосіб групування:

.

Перевіримо, чи можна розкласти на лінійні множники з дійсними коефіцієнтами квадратний тричлен . Обчислимо його дискримінант . Дискримінант додатній. Обчислимо дійсні корені квадратного тричлена

.

Таким чином, .

Тому, .

3) Легко перевірити підстановкою у многочлен , що є коренем многочлена. За наслідком з теореми Безу (4.4) даний многочлен ділиться без остачі на двочлен . Виконаємо це ділення «у стовпчик».

Маємо:

.

Оскільки дискримінант квадратного тричлену , то здійснити розклад квадратного тричлену на лінійні множники з дійсними коефіцієнтами неможливо.

Кінцевий результат: .

Справедливі наступні твердження.

Твердження 4.1.

Якщо многочлен тотожно дорівнює нулю (дорівнює нулю при довільних значеннях ), то всі його коефіцієнти дорівнюють нулю.

Твердження 4.2.

Якщо многочлени тотожно дорівнюють один одному, то вони мають рівні степені і рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях .

Поиск по сайту: