Метод заміни змінної (підстановки). Суть цього методу полягає у введенні нової змінної інтегрування

Суть цього методу полягає у введенні нової змінної інтегрування, що дає змогу звести інтеграл, який не обчислюється безпосередньо, до табличного або відомого інтеграла. Метод ґрунтується на властивості інваріантності формул інтегрування.

Властивість інваріантності формул інтегрування

Теорема.

Будь-яка формула інтегрування зберігає свій вигляд при підстановці замість незалежної змінної х довільної функції , що має неперервну похідну, тобто якщо

,

то

. (2.1)

Зауваження

1. Твердження (2.1) теореми можна записати у розгорнутому вигляді:

. (2.2)

2. В основі доведення цієї теореми лежить властивість інваріантності форми першого диференціала.

Приклад 2.4.

(табличний інтеграл 2, ).

На основі (2.1) справедливо:

, де – довільна функція з неперервною похідною .

Зокрема, підставляючи послідовно , , , маємо

;

;

і т.д.

Отже, властивість інваріантності формул інтегрування значно розширює таблицю інтегралів.

З відомих формул для диференціалів

випливає справедливість наступних рівностей:

; (2.3)

; (2.4)

. (2.5)

Перехід

називають введенням функцій під знак диференціала. В рівностях виразів (2.4) і (2.5) під знак диференціала введено і , відповідно.

Операція введення функції під знак диференціала виконується з ціллю використання властивості інваріантності формул інтегрування у вигляді (2.2). Розглянемо умови їх застосування і наведемо приклади.

Операція введення функції під знак диференціала

Нехай треба знайти складний для безпосереднього інтегрування

, (2.6)

в якому підинтегральний вираз можливо представити у вигляді:

, (2.7)

де для функції відома первісна , а є неперервною функцією. Тоді

введення функції

під знак диференціала

властивість інваріантності формул інтегрування (2.2)

Приклад 2.5. Знайти інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

6) Звертаємо увагу, що інтеграл було знайдено (приклад 1.4; 6)) з використанням властивості 6 невизначеного інтеграла. Для знаходження цього інтегралу можна також застосувати операцію введення функції під знак диференціала:

.

Зауваження.

1. На практиці часто користуються формулами, які є узагаль­неннями результатів прикладів 1) і 2), а саме:

;

.

2. Доцільно пам’ятати наступні формули для диференціалів, що найбільш часто зустрічаються на практиці:

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Таким чином, у випадках, коли треба знайти , в якому підінтегральний вираз можна представити у вигляді (2.7), застосовують властивість інваріантності формул інтегрування (2.2), що дозволяє одержати результат

.

Можна користуватися записом (2.1) цієї властивості

,

в якому . Це передбачає введення нової змінної інтегрування , тобто здійснення заміни змінної так званого першого типу.

Поиск по сайту: