Ускорение. Нормальное и тангенциальное

Ускорение.

Скорость при движении тел может меняться как по величине, так

и по направлению (рис. 3.1):

Du =u₂ -u₁ изменение скорости за время Dt .

Определение ускорения:

a = = = υ

r dr r du d r r

dt dt dt²

Ускорение равно первой производ-

ной от скорости или второй производной от

радиус - вектора по времени.

Ускорение характеризует быстроту

изменения вектора скорости. Оно направлено

так же как Du при ∆t®0. Из рис. 3.1 видно,

что вектор направлен в сторону “закруг-

ления” траектории. Подставим в (3.1) вектор

u , выражен через его проекции (уравнение

(2.5))

Рис.3.1

r d r r dv_x r

dt dt dt

Выразим вектор a через проекции a_x , a_y

a = a_xe_x + a_ye_y . (3.4)

Из (3.3) и (3.4) находим:

2

a_x = , т.к. &&&

dt dt dt dt²

аналогично для a_y : & &&

Из (3.2) получим: .

с²

Малый участок криволинейной траекто-

рии всегда можно представить как дугу окружно-

сти радиуса R (рис. 3.2). Этот радиус называется

радиусом кривизны траектории для данной точки

кривой. Центр окружности (точка О) называется

центром кривизны траектории. Из сказанного

выше следует, что вектор a всегда направлен в

сторону центра кривизны. Разложим вектор a на

две составляющие: одна из них a_n направлена по

радиусу кривизны, вторая a_t - по касательной

(т.е. по линии перпендикулярной к радиусу кри-

a = a_n + a_t

Составляющая a_n называется нормальным (или центростремительным)

ускорением и характеризует быстроту изменения направления вектора

скорости.

(3.6)

Составляющая a_t называется тангенциальным (или касательным)

ускорением и характеризует быстроту изменения вектора скорости по

величине. Следовательно, модуль вектора a_t должен быть равен:

(3.7)

Так как a_n перпендикулярна a_t , то:

a = a + a_t²

Примеры.

1. Прямолинейное движение: радиус

кривизны R® ¥ (направление скорости не ме-

няется). Из (3.6) получим:

a_n = 0 ⇒ a = a_τ

2. Криволинейное движение с постоянной

по величине скоростью u = const :

a_τ = = 0 ⇒ a = a_n

3. Равнопеременное движение: a = const => .

Из (3.4) получим (после интегрирования левой и правой части)

du_x = a_xdt ; = dt ⇒u_x -u_0x = a_xt ⇒

u_0x 0

u_x = u_{0 x} + a_xt

Из(2.6) следует :

x t₂ t

∫^dx=∫^{u dt ⇒ x- x0 =}∫^{(u +axt)dt ⇒ x = x0 +uox×t +} ₂ ^(3.11)

(3.12)

Например: тело брошено под углом a к

горизонту вверх со скоростью u₀ с высо-

ты h ( рис.3.3).

x₀=0; y₀=h; a_x=0; a_y=-g

u_0x =u₀ cosa ;u_oy =u₀ cos(90 -a) =u₀ sina

x = u₀ cosa × t; y = h +u₀ sina × t -

Рис.3.3

Поиск по сайту: