def 1: Поверхность Φ называется полной, если фундаментальная последователь-ность точек из данной поверхности Φ сходится к точке принадлежащей Ф.
def 2: Поверхность Φ называется ограниченной, если существует шар, содержащий все точки данной поверхности.
Пусть задана поверхность Φ удовлетворяющая условиям:
1. гладкая;
2. без особых точек;
3. двух сторонняя;
4. полная;
5. ограниченная.
и удовлетворяющая уравнению: x=x(u;v)
y=y(u;v) (1)
z=z(u;v)
или (1')
На поверхности Ф определены и непрерывны 4 функции: f(x;y;z), P(x;y;z), Q(x;y;z), . Гладкими или кусочно гладкими кривыми разбиваем Ф на частичные поверхности . Рассмотрим точку . Через обозначим площадь .
, где (2)
Формула (2) верна и для всей площади Ф.
Составим суммы:
, где
cos x, cos y, cos z компоненты единичного вектора нормали. вектор нормали
def 3: Число называется пределом интегральных сумм при А→0, если для что для разбиения Ф на Фi , диаметр разбиения которого и для набора точек выполняется неравенство
def 4: Если существует конечный предел суммы то говорят что функция f(x,y,z)интегрируема по поверхности Ф, а число называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) и обозначается где дифференциал поверхности.
def 5: Если существует конечный предел суммы , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функций P,Q,R соответственно и обозначается:
Если возьмем сумму , то получи общий поверхностный интеграл второго рода:
Если Ф кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность x=x(u;v), y=y(u;v), z=z(u;v) и f(x,y,z) функция определена и непрерывна в точках поверхности Ф, то
, где (3)
В частном случае, если поверхность Ф имеет вид z=z(x;y) однозначная, непрерывно дифференцируемая функция, то
Этот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности Ф.
Если S гладкая двухсторонняя поверхность, S+ ее сторона, характеризуемая направлением нормали три функции, определенные и непрерывные на поверхности S, то
(4)
При переходе к другой стороне S– поверхности S интеграл (4) меняет свой знак на противоположный.
Моментом инерции части поверхности относительно осей координат выражаются поверхностными интегралами:
Координаты центра тяжести части поверхности можно найти по формулам:
Пример 1.
Вычислить , где S часть конической поверхности , заключенной между плоскостями z=0, z=1.
Решение:
Имеем
.
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:
Областью интегрирования D является круг
Пример 2.
Вычислить , где T внешняя сторона части эллипсоида , расположенной в первом октанте.
Решение:
Расчленяем данный поверхностный интеграл на 3 слагаемых интеграла: и пользуясь уравнением поверхности Ф, и формулой
I1=
I2=
I3=
I1=
I3=
Пример 3.
Найти момент инерции полусферы относительно оси Oz
Решение:
Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость xOy, т.е. круг , а поэтому, переходя к полярным координатам, получим:
Замечание: внутри интеграл вычисляется с помощью подстановки .
Пример 4.
Вычислить координаты центра тяжести части плоскости z=x, огран. плоскостями x+y=1, y=0, x=0.
Решение:
Найдем площадь S указанной части плоскости
Задания:
I.Вычислить поверхностный интеграл первого рода:
1.
2.
3.
4.
5. лежащая внутри цилиндра
6. лежащая внутри цилиндра
7. , лежащая между конусом и параболоидом
8. лежащая между плоскостями
9. , лежащая вне гиперболоида
10. лежащая внутри цилиндра
II.Вычислить поверхностный интеграл второго рода:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
III.Найти:
1. Координаты центра масс однородной полусферы .
2. Момент инерции однородного сегмента сферы плотности ρ относительно Oz.
3. Координаты центра масс части однородной сферы .
4. Момент инерции однородного параболоида плотности ρ относительно Oz.
5. Момент инерции относительно плоскости xy части однородного конуса массой M.
6. Координаты центра масс верхней полусферы , если поверхностная плотность каждой ее точки равна расстоянию от этой точки до оси Oz/
7. Момент инерции однородной поверхности плотности ρ относительно Oz.
8. Координаты центра масс части однородной поверхности .
9. Момент инерции части однородной верхней полусферы плотности ρ, лежащей внутри цилиндра относительно плоскости.
10. Координаты центра масс части однородного конуса .