НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ГЛАВА1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ДИАМЕТРОМ РАЗБИЕНИЯ области D на

частичные области D_i. В каждой частичной области

D_i возьмём точку M_i и составим сумму :

Эта сумма называется ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ функции f(x,y) при разбиении области D на частичные области D_i и выборе точек M_i из частичных областей D_i зависит от разбиения и выбора точки M_iÎD_i

def1: Число I называется ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ при d®0 области D на частичные области D_i на частичные области D_i если для "e>0, $ d>0, что для " разбиения области D на частичные области D_i с диаметром d<d и для " набора точек M_iÎD_i выполняется условие:

def2: Если существует конечный предел при d®0, то говорят, что функция f(x,y) ИНТЕГРИРУЕМА по области D т.е. fÎR(D), а этот предел называется ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ от функции f(x,y) по области D

Если область D задана неравенствами a£x£b y₁(x)£y£y₂(x), где y₁(x), y₂(x) интегрируемые функции на [a,b], то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по формуле:

следующие свойства двойных интегралов

1)

2) , где С=const.

3) Если область интегрирования D разбита на две области D₁ и D₂, то

Пример1 Вычислить

Решение:

Пример2: Вычислить , если область D ограниченна линиями:

y= 2-x² , y= 2x-1

Решение: построим область D. Первая линия- парабола, симметричная относительно оси Oy с вершиной в точке (0,2) Вторая линия- прямая.

найдём координаты точек

пересечения A и B: A(-3;-7), B(1,1)

		у=2-х2

Пример3: Поменять порядок интегрирования

Решение: область интегрирования ограничена линиями: x=-1, x=1, y= 1-x², . Изменим порядок интегрирования, для чего заданную область представим в виде двух областей D₁ огран. слева и справа ветвями параболы , ограниченную дугами окружности . Тогда

Задания

1) Вычислить

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2) Вычислить

1. , где

2. , где P ограниченна линиями

3. , где P ограниченна линиями

4. , обл Р ограниченна прямыми х=0, у=х,

5.

6. , где P ограниченна линиями

7. , где D ограниченна линиями х=2, у=х, ху=1

8. , где Р ограниченна линиями у=0, у=х, х+у=2

9.

10.

3) Поменять порядок интегрирования

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

4) Расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке в двойном интеграле для указанных областей S:

1. S трапеция с вершинами О(0;0),А(2;0), В(1;1), С(0;1).

2. S прямоугольник с вершинами О(0;0),А(2;0), В(2;1), С(0;1).

3. S треугольник с вершинами О(0;0),А(1;0), В(1;1)..

4. S параллелограмм с вершинами А(1;2), В(2;4), С(2;7),D(1;5).

5. S круговой сектор ОАВ с центром в точке О(0;0), у которого концы дуги А(1;1), В(-1;1).

6. S круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов r=1 и R=2 c общим центром (0;0).

7. Область S заданна неравенством

8. Область S ограниченна линиями

9. S ограниченна гиперболой (имеется ввиду область, содержащая начало координат).

10. область S ограниченна линиями х=0, у=0,

Ответы

1) 1. 2) 1. 1

2. 2. 4а

3. 50,4 3. (е-1)²

4. 4. -2

5. 5.

6. 6.

7. 7.

8. 8.

9. 9.

10. 10. 1

1.1.2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Преобразование двойного интеграла от ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ х, у к ПОЛЯРНЫМ КООРДИНАТАМ связанным с прямоугольными координатами соотношением: , осуществляется по формуле:

Если область интегрирования D^| ограниченна двумя лучами, выходящими из полюса, и двумя кривыми и , где и однозначные функции при

, то двойной интеграл вычисляется по формуле:

где , причём сначала вычисляется интеграл , в котором считается постоянным.

Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то её разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.

Пример1: Перейдя к полярным координатам, вычислить , если D первая четверть круга

Решение: полагая имеем:

Пример2: В двойном интеграле перейти к полярным координатам и записать интеграл в виде:

Решение:

ЗАДАНИЯ

1) С помощью перехода к полярным координатам вычислить двойные интегралы:

1. , где D круг

2. , где D круг .

3. , где D часть кольца .

4. , где D часть круга , лежащая в 1-ом квадранте.

5. , где D круг

6. , где D верхний полукруг радиуса a с центром в точке (a,0)

7. , где D полукруг радиуса a с центром в начале координат, лежащей выше оси Ox.

8. , где D полукруг диаметра a с центром в точке С( , 0).

9. , D окружность .

10. D: , .

2) В данных задачах перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке.

1. , где D круг .

2. , где D является общей частью 2-х кругов , .

3. , где D треугольник ограниченный прямыми y=x, y=-x, x=1.

4. , где D: .

5. , где D круг .

6. , где D область ограниченная прямыми y=x, y=0, x=1.

7. , где D: y=x, y=2x, , .

8. , где D круг

9. , где D круг

10. , где D меньший из 2-х сегментов, на которые прямая x+y=2 рассекает круг

3) В двойном интеграле , перейти к полярным координатам r и φ, и записать интеграл в виде :

ОТВЕТЫ.

1)

1. πr²h 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10. 0

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК ПЛОЩАДЬ

Площадь плоской области D равна . Если область D определена, например неравенствами , то:

Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то:

Прамер1: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

x+y=6.

Решение: определим точки пересечения данных линий

=>x=6-y

6-y=4y-y²

y²-5y+6=0

=> В(3,3), А(4,2) - точки пересечения

Пример2: вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями ρ=1, (вне окружности ρ=1)

Решение: найдём координаты точки А, пересечения окружностей . Тогда

Пример3: Найти площадь фигуры, ограниченной линией x³+y³=axy (петля).

Решение: примем за параметр переменную x и преобразуем наш интеграл в определённый интеграл. Из уравнения параболы находим dy=4xdx. Поэтому

Пример4: Найти площадь, ограниченную петлёй декартового листа

Решение: Преобразуем данное уравнение к полярным координатам .

Т. е.

Оси симметрии петли является луч , а поэтому

Ответ:

1) Найти площадь плоских фигур, ограниченных заданными ниже кривыми:

1. xy=4, x+y-5=0

2. x=y, x=2y, x+y=a, x+3y=a (a>0)

3. xy=a², xy=b², y=m, y=n

4. y=x, y=5x, x=1

5.

6. y²=10x+25, y²=6x+9

7.

8. y=0, x=0, x+y=1

9.

10. x²=ay, x²=by, y=m, y=n, 0<a<b, 0<m<n.

2) Вычислить площади плоских фигур, ограниченных заданными кривыми, с помощью преобразования к полярным координатам:

1. (x²+y²)²= 2a²(x²-y²)

2. (x²+2y²)³= xy⁴

3.

4. x²+y²=2x, y²+x²=4y, y=0, y=x

5. (x+y)³=xy, (x≥0, y≥0)

6.

7. (x²+y²-ax)²=a²(x²+y²), (внутри каждой из этих кривых)

8. (x²+y²)²= a²x²+b²y²

9. x⁴+y⁴= 2a²xy

10.

3) Найти площадь области ограниченной кривыми:

1. r=a(1+cosφ), r=acosφ, (a>0)

2. r= cosφ=1, r=2 (имеется в виду область, не содержащая полюса)

3. ρ=acosφ, ρ=bcosφ, b>a>0

4. ρ=2(1-cosφ), ρ=2 (вне кардиоиды)

5. ρ=2(1+cosφ), ρ=2cosφ

6. ρ=asin3φ, a>0

7. ρ=a(1-cosφ), ρ=a (вне кардиоиды)

8. ρ=acos2φ,

9. ρ=4sinφ, ρ=2sinφ

10. ρ²=a² sin2φ

ОТВЕТЫ

1)

1.

2.

3.

4. 2

5. πab

6.

7.

8.

9.

10.

2)

1. 2a²

2

3. 27π

4. 3

5.

6. 6

7.

8.

9.

10.

3)

1.

2.

3.

4. 8-π

5. 5π

6.

7.

8.

9. 3π

10. a²

1.1.4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В МЕХАНИКЕ

Если пластинка занимает область D плоскости xOy и имеет переменную поверхностную плоскость , то МАССА М пластинки выражается двойным интегралом:

Пусть на плоскости xOy задана система материальных точек А₁(х₁; у₁), А₂(х₂; у₂),…., А_n(х_n; у_n) с массами m₁, m₂,…, m_n.

def1: СТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ М_m ЭТОЙ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:

(1)

Аналогично определяется СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Оу:

(1^|)

СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ М_х, М_у ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ Ох, Оу вместо сумм (1) и (1^|) выражаются соответствующими двойными интегралами:

В случае однородной пластинки γ=const, которую принимают равной γ=1.

def2: МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ I_x, I_y СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ Ох, Оу называется сумма произведения масс точек на квадраты их расстояний от соответствующей оси:

(2)

(2^|)

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ I_x, I_y СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ Ох, Оу вместо (2) и (2^|) выражается соответствующими двойными интегралами:

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ пластинки относительно НАЧАЛА КООРДИНАТ равен:

ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ:

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ пластины можно вычислить по формулам:

; , где М масса пластинки, М_х, М_у её статические моменты относительно осей координат.

В случае однородной пластинки формулы имеют вид:

, где S площадь области D.

Пример1

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y²=4x+4y, y²=-2x+4.

Решение: поскольку фигура симметрична относительно оси Ох, то Остаётся найти . Найдём площадь данной фигуры

Тогда

Пример2: Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кардиоидой ρ=а(1+cosθ), относительно оси Ох.

Решение: момент инерции относительно оси Ох равен

Перейдём к полярным координатам . Тогда

Пример3: Найти момент инерции круга радиуса R относительно точки, лежащей на окружности.

Решение: составим уравнение окружности, проходящей через начало координат, х²+у²=2rx и вычислим момент инерции I₀. Получим: . Вычислим интеграл I₀ в полярных координатах. В полярной системе координат уравнение данной окружности представляется в виде ρ=2rcosφ. Получим:

ЗАДАНИЕ

1)

1. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки х²+у²≤а², если плотность её вещества в точке М(х,у) пропорциональна расстоянию от точки М^| до точки А(а;0)

Замечание: применяем полярные координаты

2. найти статический момент однородного тела, имеющего форму прямого конуса (основание радиуса R, высота H) относительно плоскости, проходящей через вершину параллельно основанию.

3. Вычислить статический момент пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами ОА=а, ОВ=b, относительно катета ОА, если плоскость её в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА.

4. Найти массу квадратной пластины со стороной а, если плотность вещества пластины в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и равна μ₀ в центре квадрата.

5. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми ay=x², x+y=2a (a>0)

6. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми , х=0, у=0.

7. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми , (х≥0, у≥0).

Замечание: использовать замену х=acos³t, y=asin³t, 0≤t≤ , взять перед интегралом знак “-” в следствии того, что возрастанию параметра t от 0 до соответствует убывание переменной х от а до 0.

8. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой , (петля).

9. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой , (х≥0, у≥0).

Замечание: перейти к полярным координатам.

10. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми ρ=a(1+cosφ), φ=0.

2)

1. Найти центробежный момент инерции I_x,y однородной фигуры, ограниченной кривыми: ax=x², ax=y² (a>0).

2. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой ,

3. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривой .

4. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми , (0≤t≤2π), у=0.

5. найти статические моменты относительно координатных осей четверти круга радиуса R.

6. Найти статические моменты круга относительно его касательной.

7. Найти статические моменты полукруга относительно его диаметра.

Найти статические моменты относительно координатных осей части плоскости, ограниченной линиями y=x², y+x=2, y=2.

8. Найти статический момент правильного шестиугольника со стороной а относительно стороны (γ=1).

9. Найти статические моменты относительно координатных осей части плоскости, ограниченной линиями y=x², y+x=2, y=2.

10. Найти статические моменты однородного тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a,b,c относительно его граней.

3)

1. Вычислить момент инерции прямоугольника со сторонами a и b относительно его сторон.

2. Вычислить момент инерции квадрата со стороной а относительно одной из вершин.

3. Вычислить момент инерции треугольника, ограниченного прямыми х+у=2, х=2, у=2 относительно оси Ох.

4. Вычислить момент инерции полукруга относительно его диаметра.

5. Вычислить момент инерции круга относительно его центра.

6. Вычислить момент инерции круга относительно касательной.

7. Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кривой относительно начала координат.

8. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями , х+у=3, у=0.

9. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями у=4-х², у=0, относительно оси Ох.

10. Вычислить момент инерции площади эллипса относительно его большой оси.

1.2. Тройные интегралы.

1.2.1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

def1: ТРЁХМЕРНЫЙ КООРДИНАТНЫМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ называется множество точек (х₁, х₂, х₃)ЄR³ удовлетворяющих условию:

а_i≤х_i≤b_i , i=1,2,3 a_i, b_i ЄR и этот параллелепипед обозначим:

П=[a₁, b₁]*[a₂, b₃]*[a₃, b₃]

Пусть задана функция f(x)= f(x₁, x₂, x₃) в трёхмерной области ПÌR³. Возьмём разбиение Т данного П плоскостями х=х_i параллельными координатным гиперплоскостям. Разобьём на частичные параллелепипеды. В каждом П_j возьмём точку Р_jÌП_j, где Р_j=(e^j₁, e^j₂, e^j₃). Обозначим через μ(П_j)- объем частичного параллелепипеда . Составим сумму -это ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА функции f, соответствующая данному разбиению Т и выбору точек Р_j из частичных параллелепипедов П_j.

Обозначим через -ДИАМЕТР РАЗБИЕНИЯ Т, где -ДИОГАНАЛЬ частичного параллелепипеда.

def2: Число I называется ПРЕДЕЛОМ интегральных сумм при диаметре λ→0, если для "ε>0 $δ>0, что для "разбиения Т диаметр которого λ<δ и для " набора точек {P_j} P_jЄП_j выполняется неравенство:

def3: Функция f(x₁, x₂,x₃) называется ИНТЕГРИРУЕМОЙ в трёхмерном прямоугольном координатном параллелепипеде, если существует конечный предел

и этот предел называется ТРЁХКРАТНЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции f(x₁, x₂,x₃) по трёхмерному прямоугольному параллелепипеду и обозначается:

Пусть x₁=х, x₂=у, x₃=z.

Если функция f(x,y,z) непрерывна, область D ограниченна и определена неравенствами: x₁≤х≤ x₂ у₁(х)≤у≤у₂(х), z₁(x,y)≤z≤z₂(x,y), где у₁(х),у₂(х), z₁(x,y),z₂(x,y) непрерывные функции, то тройной интеграл от функции f(x,y,z), распространенный на область D, может быть вычислен по формуле:

Иногда удобно также применять формулу:

где S(x) сечение области D плоскостью х=const.

При переходе от декартовых координат x,y,z к ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ φ,z, связанным с x,y,z соотношениями:

х=ρcosφ,

y=ρsinφ,

z=z.

где 0≤ρ≤+∞, 0≤φ≤2π, -∞≤z≤+∞, якобиан равен I=ρ и формула преобразования тройного интеграла к ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ ИМЕЕТ ВИД:

При переходе от декартовых координат к СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ ρ,φ,θ связанными с x,y,z соотношениями:

х=ρsinθcosφ,

y=ρsinθsinφ,

z=ρcosθ,

где 0≤ρ≤+∞, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤π. Якобиан преобразования равен: I=ρ² sinθ и формула преобразования тройного интеграла к СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ имеет вид:

Пример1: Вычислить V: z=xy, y=x, x=1, z=0

Пример2: Вычислить , если Т шар х²+у²+z²≤r².

Решение: введём сферические координаты х=ρsinθcosφ, y=ρsinθsinφ, z=ρcosθ. Якобиан преобразования I=ρ² sinθ.

ЗАДАНИЕ

1)Вычислить:

1. , Т=[(x,y,z):x+y+z=1, z=0, y=0,x=0].

2. ,Т: , x²+y²+z²≤3a²

3. T: x²+z²=1, y=0,y=1.

4. , T: z=0, z=a, x=0, y=0, x+y=b (a>0, b>0).

5. , T: y²=x, y=x², z=xy, z=0.

6. , T: z=xy, x+y=1, z=0 (z≥0).

7. , T: x=0, z=0, y=0, y=h, x+z=a

8. ,T: y=0, z=0,

9. , T: x+y+z=1, z=0, x=0, y=0.

10. , T: x+y=1, x+y=0, y=0, z=0, z=3.

2) Вычислить интеграл с помощью перехода к цилиндрическим или сферическим координатам.

1. , G: x²+z²=1, y=0, y=1.

2. , G: , z=2.

3. , G: x²+y²+z²≤r².

4. , G: x²+y²+z²≤1

5. G: x²+y²≤2az, x²+y²+z²≤3a²

6. G: x²+y²+z²≥r² , x²+y²+z²≤2rz

7. , G: , z≥1.

8. , G: , 0≤z≤h.

9. , G: x²+y²+z²≤r² , y²+z²≤x² , x≥0.

10. , G: x²+y²≤2z, 0≤z≤2.

3) расставить пределы интегрирования в последовательности x,y,z; y,x,z; z,y,x для указанной области V.

1. V: x²+y²=r² , z=0, z=H

2. V: , z=0, x=0, y=0 (a>0, b>0, c>0)

3. V: x²+y²=1, z=0, z=1 (x≥0, y≥0)

4. V: z=0

5. V: z= 1-x²-y², z=0

6. V: 2x+3y+4z=12, z=0, y=0, x=0.

7. V: y²+2z²=4x, x=2.

8. V: x²+y²=z², z=1

9. V: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

10. V: x²+y²=r² , z=3, z=5.

ОТВЕТЫ

1) 1. 6.

2. 7.

3. 1.5π 8.

4. 9. 0.5

5. 10. 3

2) 1. 1.5π 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

1.2.2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛЕЧИН ПОСРЕДСТВОМ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

ОБЬЁМ области Т определяется по формуле:

Если плотность тела переменная: γ=γ(x;y;z), то МАССА тела, занимающего область Т вычисляется по формуле:

КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ тела определяются по формулам:

При γ=I имеем:

координаты геометрического центра тяжести).

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ тела V^| относительно координатных плоскостей называется, соответственно интеграл:

(*)

.

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ относительно КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ:

I_x= I_xy+I_xz

I_y=I_yx+I_yz

I_z= I_zx+I_zy

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ тела V^| относительно НАЧАЛА КООРДИНАТ называется интеграл:

Используя (*) получаем:

I₀=I_xy+I_yz+I_zx

Пример1: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

hz=x²+y², z=h.

Решение: данное тело ограниченно снизу параболоидом z= , сверху плоскостью z=h и проектируется в круг x²+y²≤h² плоскости хОу. Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида имеет вид z= . Объём тела равен

Пример2: найти массу прямоугольного параллелепипеда 0≤х≤а, 0≤у≤b, 0≤z≤c, если плотность в точке (x;y;z) пропорциональна сумме координат этой точки.

Решение: в данном случае γ(x;y;z)= r(x+y+z).

Следовательно получим: m=

.

ЗАДАНИЯ

1) Найти объём тела ограниченного поверхностями:

1. , z=x²+y²

2. z=0, x=0.5(x²+y²), x²+y²+z²=4 (внутри цилиндра)

3. z=4-y², z=y²+2, x=-1, x=2

4. z=x²+y², z= x²+2y², y=x, y=2x, x=1.

5. z=x²+y², z= 2x²+2y², y=x², y=x.

6. x²+y²+z²=r², x²+y²=r(r-2z), (z≥0)

7. z=x²+y², z²=xy

8. az=x²+y², z= , a>0

9. x+y+z=a, x+y+z=2a, x+y=z, x+y=2z

10. x²+y²+4z²=1

2)

1. Найти массу куба 0≤х≤а, 0≤у≤а, 0≤z≤а, если плотность в точке (x;y;z) есть γ(x;y;z)=x+y+z.

2. Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна расстоянию от центра шара, причём на расстоянии единицы от шара плотность равна 2.

3. Из октана шара x²+y²+z²≤r² (x≥0, y≥0, z≥0) вырезано тело, ограниченное координатными плоскостями (a≤c, b≤c). Найти массу этого тела, если плотность в каждой точке (x;y;z) пропорциональна аппликате этой точки.

4. Определить массу тела, ограниченного поверхностями z=h, x²+y²-z²=0, если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.

5. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями x+y+z=a, x=0, y=0, z=0, если плотность в каждой её точке пропорциональна аппликате этой точки.

6. Определить массу сферического слоя между поверхностями x²+y²+z²=а² и x²+y²+z²=4а², если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

7. вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса R, высоты H, если его плотность в любой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра.

8. определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями , x=0, y=0, z=0, a,b,c>0.

Замечание: использовать замену x=aρcos²φ, y=bρsin²φ, z=z, (0≤φ≤2π, ρ≥0).

9. определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностью:

Замечание: использовать замену x=aρsinθcosφ, y=bρsinθsinφ, z=cρcosθ, (0≤φ≤2π, ρ≥0, 0≤θ≤π).

10. Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями:

, z=0

Замечание: использовать замену x=aρcosφ, y=bsinφ, z=z, (0≤φ≤2π, ρ≥0).

II

1 Найти массу куба , если плотность в точке есть .

2 Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна расстоянию от центра шара, причем на расстоянии единицы от шара плотность равна 2.

3 Из октана шара вырезано тело, ограниченное координатными плоскостями и плоскостью . Найти массу этого тела, если плотность его в каждой точке (x;y;z) пропорциональна аппликате этой точки.

4 Определить массу тела, ограниченного поверхностями z=h, , если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.

5 Определить массу пирамиды, образованной плоскостями x+y+z=a, x=0, y=0, z=0, если плотность в каждой ее точке пропорционально аппликате этой точки.

6 Определить массу сферического слоя между поверхностями и , если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки то начала координат.

7 Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиуса R, высоты H, если его плотность в любой точке пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

8 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями .

Замечание: использовать замену .

9 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностью:

Замечание: использовать замену .

10 Определить момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела ограниченного поверхностями:

Поиск по сайту: