Метод Рунге-Кутта 2-го порядка

Метод Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение (I), с на­чальными условиями y(

Пусть y=y(x) искомое точное решение. Интегральная кривая проходит через точку (

Найдем приближенные значения функции в точках . Построим систему равноотстоящих точек узлов

Проведем прямые

Рассмотрим отрезок [ ]

На этом отрезке есть одна точка, которая принадлежат искомой кри­вой - это точка А Заме­ним дугу искомой кривой y=y(x) на отрезке [ ] касательной к ней, проведенной в точке ( )

В качестве возьмем ординату точки пересечения прямой x= с касательной.

Очевидно . Но ,

т.е. .

Но из уравнения (I) следует, чтo

Итак, получаем .

Предположим теперь, что точка принадлежит искомой кривой. В этой точке опять проведем касательную к графику функции до пересечения с прямой х = .

Тогда аналогично:

.

Продолжая и так далее, получим систему значений которые и будут приближенными значениями функции y=y(x) в точках

Итак, расчетные формулы метода Зилера:

.

Для системы дифференциальных уравнений

i= I,…,k

расчетные формулы записываются аналогично

здесь i - номер уравнения в системе, n - номер шага.

Метод Эйлера является грубым методом, ошибка, которую мы допус каем ка каждом шаге пропорциональна , т.е. .

Чтобы повысить точность вычислений, использует некоторые усовершенствованные методы.

Метод Эйлера-Коши

Пусть опять решаем уравнение y’=f(x,y), y(

Решение ищем на отрезке [ ].

Пусть нам известны координаты некоторой точки, принадлежащей ис­комому решению ( ). Найдем средний тангенс угла наклона ка­сательной для двух точек : ( ) и ( ).

Последняя точка, есть та самая, которую в методе Эйлера мы обоз­начаем ( ), но здесь точка будет вспомогательной.

Итак, сначала по методу Эйлера находится точка А, лежащая на прямой , тангенс угла накло­на которой

В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной

Затем через точку ( ) проводим прямую L, тангенс уг­ла наклона которой равен

Точка, в которой L пересе­чется с прямой ,будет искомой( ). Таким обра­зом, есть искомое приближение значения функции на данном шаге интегрирования.

Расчетные формулы метода Эйлера-Коша следующие:

Аналогично, для системы дифференциальных уравнений:

Здесь i - номер уравнения системы, m - номер шага.

Пример.

Задано:

Уравнение у¢×у + 2х² = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у¢ = -2х²/у. Разобьем интервал [1,2]на десять шагов с шагом h = 0,1.

Расчетные формулы метода Эйлера-Коши:

Первый шаг (i = 0):

х₁ = х₀ + h = 1 + 0,1 = 1,1;

₁= y₀ + h × f(y₀, x₀) = 3 + 0,1(-2×1²)/3 = 2,93.

х₂ = х₁ + h = 1,1 + 0,1 = 1,2;

y₂ = y₁ + (h/2) × (f(y₀, x0)+ f( ₁, x₁)) = 2,93 + (0,1/2)*((-2×1,1²)/2,93+(- 2*1,1^2/2.93)) = 2,85633.

Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале.

Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:

Метод Рунге-Кутта 2-го порядка

Пусть имеем дифференциальное уравнение

с начальными .

Ищем решение на отрезке [ ].

Пусть имеем точку ( ) принадлежащую искомому решению. Для
того, чтобы найти следующую точку проведем касательную к кривой в точке ( )

До пересечения с прямой где

Тогда , получим координату (по фор­муле Эйлера)

Теперь найдем тангенс угла наклона касательной в т.В ( (прямая L ).

Через точку А про ведем прямую I ||L . Ординату точки пересечения прямых и

возьмем в качестве

Таким образом

для системы дифференциальных уравнений

расчетные формулы имеют вид:

Пример.

Задано:

Уравнение у¢×у + 2х² = 0 на интервале [1,2] при условии у(1) = 3. Представим уравнение в виде у¢ = -2х²/у. Разобьем интервал [1,2]на десять шагов с шагом h = 0,1.

Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 2-го порядка:

Пример вычисления(первый шаг):

x_0+1/2 = х₀ + h/2 = 1 + 0,1/2 = 1,05;

y_1+1/2 = y₀ + h/2 × f(y₀, x₀) = 3 + (0,1/2)(-2×1²)/3 = 2,9666.

x₁ = х₀ + h = 1 + 0,1 = 1,1;

y₁ = y₀ + h × f(y_0+1/2, x_0+1/2) = 2,96+(0,1)*(-2*1,05^2/2,96)=2,885506.

Аналогично можно найти значения искомой величины на всём интервале.

Полученные данные позволяют построить график искомой функции на заданном интервале изменения аргумента:

ПРОГРАММА МЕТОДА РУНГЕ-КУТТА 2-ГО ПОРЯДКА

Поиск по сайту: