Перш ніж дати визначення вагової функції системи, розглянемо функцію δ(t), називану функцією Дірака чи дельта-функцією. У теорії об’єктів цю функцію часто називають одиничним імпульсом. Зміст подібної назви стане ясний з подальшого.
Визначимо δ(t) наступними співвідношеннями:
(13)
. (14)
Очевидно, що δ(t), так само як і U(t), є деякою математичною абстракцією реально існуючих сигналів. Розглянемо допоміжну функцію δ(t, μ), рівну
. (15)
Графіки цієї функції для різних значень μ (μ1>μ2>μ3) приведені на рис. 2.
Рис. 2.
У цьому випадку δ(t)можна розглядати як межа функції δ(t, μ) пpи μ :
Відмітимо, що
.
Рис. 3.
Ще більш наочним зміст δ(t) стане, якщо скористатись формальною рівністю
,
що випливає з (15). По визначенню похідної
.
З рис. 3, на якому зображений графік функції δ(t, τ), ясно, що площа прямокутного імпульсу . Інакше цей результат можна записати так:
,
звідки і походить назва для δ(t) — одиничний імпульс.
Властивості одиничного імпульсу (12)
1.
2. .
3. , (16)
якщо f(t)— обмежена і неперервна функція.
Властивість (16) дає можливість представити будь-який сигнал у вигляді сукупності одиничних імпульсів. Справді,
. (17)
Виходячи з формальної рівності (15) і того, що , знаходимо, за властивістю дифереенціювання оригіналу
. (18)
Цей же результат можна одержати безпосередньо з прямого перетворення Лапласа, застосування якого в даному випадку можливо, оскільки δ(t)абсолютно інтегрована.
Сигнал, який одержується на виході лінійних динамічних об’єктів при подачі на її вхід одиничного імпульсу, називається ваговою або імпульсною перехідною функцією W(t).
Так як , то
Y(p)=W(p) (19)
Переходячи від зображення до оригіналу, одержуємо, що вагова функція системи є оригіналом передатної функції.
Як випливає з викладеного вище, передатна, перехідна і вагова функції системи, що є її характеристиками, однозначно зв'язані одна з одною. Знаючи одну з них, завжди можна знайти будь-яку іншу.
Простір станів(13)
Широке застосування в теорії керування знайшли методи простору станів. У випадку лінійної неперервної системи зі змінними параметрами без запізнювання використовується наступна математична модель: