Математичний опис лінійних динамічних об’єктів (9)
Динамічні об’єкти називаються лінійними, якщо рівняння динаміки і, отже, статики цих об’єктів лінійні. Характерною рисою лінійних динамічних об’єктів є застосування до них принципу суперпозиції, який можна сформулювати у такий спосіб.
Нехай xj(j = 1, 2, …, m) — деякі (взагалі говорячи, різні) вхідні сигнали лінійних динамічних об’єктів, а уj(t) — реакції на кожен з цих сигналів. Тоді для лінійних динамічних об’єктів сумарна реакція на сумарний вхідний сигнал буде визначатися так:
. (1)
Лінійні динамічні об’єкти дуже різноманітні. Їхні параметри можуть мінятися з часом чи залишатися сталими, бути як зосередженими, так і розподіленими. Часто такі динамічні об’єкти містять лінійні імпульсні елементи.
Найпростішим прикладом лінійного динамічного об’єкта є об’єкт з сталими зосередженими параметрами. В загальному випадку вони можуть бути описані лінійним диференціальним рівнянням з сталими коефіцієнтами виду
які встановлюють залежність у(t) реакції (вихідний сигнал) від x(t) — впливу на систему (вхідний сигнал). Порядок диференціального рівняння п, величини ai (i = 0, 1, 2, …, n), bj (j = 0, 1, …, m) цілком визначаються параметрами самої системи і, природньо, є дійсними числами.
У реальних динамічних об’єктах, зазвичай, п > т.
Загальний розв’язок рівняння (2) складається з двох частин:
загального розв’язку однорідного диференціального рівняння
a0y(n)(t)+a1y(n–1)(t)+…+any(t)=0
і часткового розв’язку рівняння (2).
Передатна функція лінійних динамічних об’єктів і її властивості(10)
Зв’язок між зображеннями по Лапласу реакції системи y(t) і вхідного впливу на систему x(t)виражається співвідношенням:
, (3)
Функція яка являє собою відношення перетворення Лапласа вихідного сигналу лінійних динамічних об’єктів до перетворення вхідного сигналу при нульових початкових умовах, називається передатною функцією лінійних динамічних об’єктів.
Згідно із (3)
, (4)
де, як і раніше, р=σ+iω і σ>σ0, де σ0— абсциса абсолютної збіжності.
Зміст передатної функції, як слідує з визначення, полягає в тому, що вона являє собою деякий оператор, що перетворює зовнішній вплив на вході в реакцію системи на виході. Якщо відоме зворотне перетворення Лапласа, тобто ω(t)®W(p), то можна записати
, (5)
Інтеграл, який розташований в правій частині (5) і визначає вихідний сигнал при нульових початкових значеннях у вигляді згортки оригіналу передатної функції і зовнішнього впливу, називається інтегралом Дюамеля.
X
Y
W(p)
Рис. 1.
Усе вищесказане відноситься до лінійних динамічних об’єктів з одним входом і одним виходом (рис. 1).
Оскільки для реальних об’єктів п > т, то аi (i = 0, 1, 2,…, п) і bj (j = 0,1, 2,…, n) — дійсні величини. Звідси слідує, що нулі і полюси (точки, у яких W(р) прямує до нескінченності) — комплексно спряжені числа.
Корені поліномів
, (6)
, (7)
є відповідно нулями і полюсами .
Перехідна функція(11)
Сигнал h(t), який одержується на виході системи при подачі на його вхід одиничного стрибка U(t), називається перехідною функцією системи.
Згідно перетворення Лапласа , і, отже, за означенням маємо
. (8)
Переходячи від зображення до оригіналу, одержимо
. (9)
Знайдемо зв'язок між передатною й перехідною функціями. З формули (5) при x(t)=U(t) випливає, що
, (10)
звідки
, (11)
тобто оригінал передатної функції дорівнює похідній від перехідної функції системи. Не слід забувати, що, як і раніше, система має нульові початкові умови.
Виразимо у(t) — реакцію системи на довільний вплив х(t) через перехідну функцію h(t). З (11) і (5) маємо
.
Провівши інтегрування в (11а) за частинами, одержимо