Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Передатна функція лінійних динамічних об’єктів і її властивості(10)



Способи математичного опису динамічних процесів

Математичний опис лінійних динамічних об’єктів (9)

Динамічні об’єкти називаються лінійними, якщо рівняння динаміки і, отже, статики цих об’єктів лінійні. Характерною рисою лінійних динамічних об’єктів є застосування до них принципу суперпозиції, який можна сформулювати у такий спосіб.

Нехай xj (j = 1, 2, , m)деякі (взагалі говорячи, різні) вхідні сигнали лінійних динамічних об’єктів, а уj(t)реакції на кожен з цих сигналів. Тоді для лінійних динамічних об’єктів сумарна реакція на сумарний вхідний сигнал буде визначатися так:

. (1)

Лінійні динамічні об’єкти дуже різноманітні. Їхні параметри можуть мінятися з часом чи залишатися сталими, бути як зосередженими, так і розподіленими. Часто такі динамічні об’єкти містять лінійні імпульсні елементи.

Найпростішим прикладом лінійного динамічного об’єкта є об’єкт з сталими зосередженими параметрами. В загальному випадку вони можуть бути описані лінійним диференціальним рівнянням з сталими коефіцієнтами виду

a0y(n)(t)+a1y(n-1)(t)+…+any(t)=b0x(m)(t)+b1x(m-1)(t)+…+bmx(t), (2)

які встановлюють залежність у(t) реакції (вихідний сигнал) від x(t) впливу на систему (вхідний сигнал). Порядок диференціального рівняння п, величини ai (i = 0, 1, 2, …, n), bj (j = 0, 1, …, m) цілком визначаються параметрами самої системи і, природньо, є дійсними числами.

У реальних динамічних об’єктах, зазвичай, п > т.

Загальний розв’язок рівняння (2) складається з двох частин:

загального розв’язку однорідного диференціального рівняння

a0y(n)(t)+a1y(n–1)(t)+…+any(t)=0

і часткового розв’язку рівняння (2).

Передатна функція лінійних динамічних об’єктів і її властивості(10)

Зв’язок між зображеннями по Лапласу реакції системи y(t) і вхідного впливу на систему x(t)виражається співвідношенням:

, (3)

Функція яка являє собою відношення перетворення Лапласа вихідного сигналу лінійних динамічних об’єктів до перетворення вхідного сигналу при нульових початкових умовах, називається передатною функцією лінійних динамічних об’єктів.

Згідно із (3)

, (4)

де, як і раніше, р=σ+iω і σ>σ0, де σ0— абсциса абсолютної збіжності.

Зміст передатної функції, як слідує з визначення, полягає в тому, що вона являє собою деякий оператор, що перетворює зовнішній вплив на вході в реакцію системи на виході. Якщо відоме зворотне перетворення Лапласа, тобто ω(t)®W(p), то можна записати

, (5)

Інтеграл, який розташований в правій частині (5) і визначає вихідний сигнал при нульових початкових значеннях у вигляді згортки оригіналу передатної функції і зовнішнього впливу, називається інтегралом Дюамеля.

X
Y
W(p)
Рис. 1.

Усе вищесказане відноситься до лінійних динамічних об’єктів з одним входом і одним виходом (рис. 1).

Оскільки для реальних об’єктів п > т, то аi (i = 0, 1, 2,…, п) і bj (j = 0,1, 2,…, n) — дійсні величини. Звідси слідує, що нулі і полюси (точки, у яких W(р) прямує до нескінченності) — комплексно спряжені числа.

Корені поліномів

, (6)

, (7)

є відповідно нулями і полюсами .

Перехідна функція(11)

Сигнал h(t), який одержується на виході системи при подачі на його вхід одиничного стрибка U(t), називається перехідною функцією системи.

Згідно перетворення Лапласа , і, отже, за означенням маємо

. (8)

Переходячи від зображення до оригіналу, одержимо

. (9)

Знайдемо зв'язок між передатною й перехідною функціями. З формули (5) при x(t)=U(t) випливає, що

, (10)

звідки

, (11)

тобто оригінал передатної функції дорівнює похідній від перехідної функції системи. Не слід забувати, що, як і раніше, система має нульові початкові умови.

Виразимо у(t) — реакцію системи на довільний вплив х(t) через перехідну функцію h(t). З (11) і (5) маємо

.

Провівши інтегрування в (11а) за частинами, одержимо

. (12)

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.