Моделі складних динамічних об’єктів

Фізичні теорії складних розподілених об’єктів (полів і середовищ) приводять до моделей у вигляді диференціальних рівнянь в частинних похідних, які у самому загальному випадку є функціональними рівняннями виду

Ф(x, y, z, . . . , u, u_x, u_y, u_z, ..., u_xx, u_уу, ...) = 0,

(22)

що містять одну або більше частинних похідних (у тому числі вище першого порядку) від шуканої функції декількох змінних u = (х, y, z, ...) і які зв’язані деякою функціональною залежністю Ф. Описові можливості моделей цього виду винятково великі, а самі моделі найчастіше є наслідком фізичних законів, які представлені у диференціальній формі. Відомі також великі труднощі, що зустрічаються на шляху реалізації моделей цього виду, особливо при розв’язуванні нелінійних задач. Цим пояснюється застосування великої кількості прийомів спрощення або перетворення їх до інших видів моделей як на фізичному, так і на математичному рівнях. Зокрема, такими прийомами є спрощення постановок задач (зниження розмірності), використання фізичних законів в інтегральній формі, лінеаризації тощо. Граничні умови, що накладаються на шукані функції і їх похідні у сукупності з рівнянням (22) утворюють велику різноманітність постановок задач, для розв’язування яких застосувати який-небудь загальний, універсальний підхід неможливо.

Значного поширення в теорії математичного моделювання набули рівняння, що мають у загальному випадку вигляд

F(x, u(х), u'(х), ..., u⁽ⁿ⁾(x)) = 0,

(23)

де F — деяка функція, що визначає залежність (в загальному випадку нелінійну) між незалежною змінною х, шуканою функцією u = u(х) та її похідними до n-го порядку включно.

Рівняння виду (23) простіше, ніж рівняння (22), хоча і для них залишається актуальною проблема реалізації та якісного дослідження. Область застосування моделей даного виду традиційно включає різноманітні реальні системи, які в багатьох випадках складаються із сукупності взаємопов’язаних об’єктів, зокрема, механічні та електричні системи, рухомі об’єкти, системи керування тощо. Для рівняння (23) можуть ставитись початкова або крайова задачі, методи розв’язування яких можуть суттєво відрізнятися.

Функція Гріна

Для опису передатних властивостей елементів з розподіленими параметрами можна використовувати функцію Гріна (вагову функцію) v(x, ξ, t – τ), яка відтворює реакцію розподіленого елемента в точці x в момент часу t при нульових початкових та однорідних крайових умовах, на імпульсний сигнал, прикладений в кожній точці ξ та в кожен момент часу τ. Тоді лінійний стаціонарний розподілений блок описується інтегральним оператором:

,

(24)

де D₁ — область в r-вимірному евклідовому просторі; w(ξ, τ) — вхідна дія.

Зв’язок між передатною і ваговою функцією v(x, ξ, t) задається співвідношенням

.

(25)

Інтегральні моделі

Значно менш систематизованою і дослідженою в технічних застосуваннях є область використання інтегральних рівнянь, які в загальному нелінійному випадку можуть представлятись у вигляді

,

(26)

де інтеграл береться по області Q, а шукана функція u може залежати як від однієї, так і від багатьох змінних x = {x₁, x₂, …, x_n}ÎQ(x); функції K (ядро) і F — наперед відомі.

Математичні моделі виду (26) мають ряд переваг, зокрема, вони містять в собі повну постановку задачі, що відповідає моделям (22) і (23) разом з їх граничними умовами, завдяки незмінності своєї структури допускають більш універсальний підхід при числовій реалізації, ніж у випадку диференціальних моделей.

Поиск по сайту: