Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Свойства основных конструкций структурного программирования



Рассмотрим теперь свойства основных конструкций структурного программирования: следования, разветвления и повторения.

Свойства следования выражает следующая

Теорема 9.3. Пусть P, Q и R - предикаты над информационной средой, а S1 и S2 - обобщенные операторы, обладающие соответственно свойствами

{P}S{Q} и {Q}S2{R}.

Тогда для составного оператора

S1; S2<.blockquote>
имеет место свойство

{P} S1; S2 {R} .

Доказательство. Пусть для некоторого состояния информационной среды перед выполнением оператора S1 истинен предикат P. Тогда в силу свойства оператора S1 после его выполнения будет истинен предикат Q. Так как по семантике составного оператора после выполнения оператора S1 будет выполняться оператор S2, то предикат Q будет истинен и перед выполнением оператора S2. Следовательно, после выполнения оператора S2 в силу его свойства будет истинен предикат R, а так как оператор S2 завершает выполнение составного оператора (в соответствии с его семантикой), то предикат R будет истинен и после выполнения данного составного оператора, что и требовалось доказать.

Например, если имеют место свойства (9.2) и (9.3), то имеет

место и свойство

{n<m} n:=n+k; n:=3*n {n<3*(m+k)}.

Свойство разветвления выражает следующая

Теорема 9.4. Пусть P, Q и R - предикаты над информационной средой, а S1 и S2 - обобщенные операторы, обладающие соответственно свойствами

{P,Q} S1{R} и {`P,Q} S2 {R}.

Тогда для условного оператора

ЕСЛИ P ТО S1 ИНАЧЕ S2 ВСЕ ЕСЛИ


имеет место свойство

{Q} ЕСЛИ P ТО S1 ИНАЧЕ S2 ВСЕ ЕСЛИ {R} .

Доказательство. Пусть для некоторого состояния информационной среды перед выполнением условного оператора истинен предикат Q. Если при этом будет истинен также и предикат P, то выполнение условного оператора в соответствии с его семантикой сводится к выполнению оператора S1. В силу же свойства оператора S1 после его выполнения (а в этом случае - и после выполнения условного оператора) будет истинен предикат R. Если же перед выполнением условного оператора предикат P будет ложен (а Q, по-прежнему, истинен), то выполнение условного оператора в соответствии с его семантикой сводится к выполнению оператора S2. В силу же свойства оператора S2 после его выполнения (а в этом случае - и после выполнения условного оператора) будет истинен предикат R. Тем самым теорема полностью доказана.

Прежде чем переходить к свойству конструкции повторения следует отметить полезную для дальнейшего

Теорему 9.5. Пусть P, Q, P1 и Q1 - предикаты над информационной средой, для которых справедливы импликации

P1=>P и Q=>Q1,


и пусть для оператора S имеет место свойство {P}S{Q}.Тогда имеет место свойство {P1}S{Q1} .

Эту теорему называют еще теоремой об ослаблении свойств.

Доказательство. Пусть для некоторого состояния информационной среды перед выполнением оператора S истинен предикат P1. Тогда будет истинен и предикат P (в силу импликации P1=>P). Следовательно, в силу свойства оператора S после его выполнения будет истинен предикат Q, а значит и предикат Q1 (в силу импликации Q=>Q1). Тем самым теорема доказана.

Свойство повторения выражает следующая

Теорема 9.6. Пусть I, P, Q и R - предикаты над информационной средой, для которых справедливы импликации

P=>I и (I,`Q)=>R ,


и пусть S - обобщенный оператор, обладающий свойством {I}S{I}.

Тогда для оператора цикла

ПОКА Q ДЕЛАТЬ S ВСЕ ПОКА


имеет место свойство

{P} ПОКА Q ДЕЛАТЬ S ВСЕ ПОКА {R} .

Предикат I называют инвариантом оператора цикла.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы достаточно доказать свойство

{I} ПОКА Q ДЕЛАТЬ S ВСЕ ПОКА {I,`Q}

(по теореме 9.5 на основании имеющихся в условиях данной теоремы импликаций). Пусть для некоторого состояния информационной среды перед выполнением оператора цикла истинен предикат I. Если при этом предикат Q будет ложен, то оператора цикла будет эквивалентен пустому оператору (в соответствии с его семантикой) и в силу теоремы 9.1 после выполнения оператора цикла будет справедливо утверждение (I,`Q). Если же перед выполнением оператора цикла предикат Q будет истинен, то оператор цикла в соответствии со своей семантикой может быть представлен в виде составного оператора S; ПОКА Q ДЕЛАТЬ S ВСЕ ПОКА

В силу свойства оператора S после его выполнения будет истинен предикат I, и возникает исходная ситуация для доказательства свойства оператора цикла: предикат I истинен перед выполнением оператора цикла, но уже для другого (измененного) состояния информационной среды (для которого предикат Q может быть либо истинен либо ложен). Если выполнение оператора цикла завершается, то применяя метод математической индукции мы за конечное число шагов, придем к ситуации, когда перед его выполнением будет справедливо утверждение (I,`Q). А в этом случае, как было доказано выше, это утверждение будет справедливо и после выполнения оператора цикла. Теорема доказана.

Например, для оператора цикла из примера (9.4) имеет место свойство

{n>0, p=1, m=1} ПОКА m /= n ДЕЛАТЬ

m:= m+1; p:= p*m

ВСЕ ПОКА {p= n!}.

Это следует из теоремы 9.6, так как инвариантом этого оператора цикла является предикат p=m! и справедливы импликации(n>0, p=1, m=1) => p=m! и (p=m!, m=n) => p=n!

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.