Теоретические сведения. Лабораторная работа № 15-1

Лабораторная работа № 15-1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ

УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ В СРЕДЕ EXCEL

Цель работы– освоить навыки приближенного нахождения корней алгебраических трансцендентных уравненийметодом половинного деления в среде программирования Excel.

Постановка задачи:

1. Используя метод половинного деления, вычислить с заданной точностью ( ) действительные корни заданного алгебраического уравнения .

2. Решить задачу в среде Excel.

Теоретические сведения

1. Отделение действительных корней. Рассмотрим уравнение . Для отделения корней можно использовать следующую теорему: если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , т.е. , то внутри этого отрезка находится, по крайней мере, один корень уравнения .

Отделение корней происходит так. Находим знаки функции в ряде точек из области определения функции , , , … . Если , то в силу сформулированной выше теоремы на отрезке имеется, по крайней мере, один корень уравнения . Необходимо одним из способов проверить, является ли этот корень единственным. Если на отрезке не меняет знак, корень - единственный (в силу монотонности ).

Для отделения корней можно использовать графические методы. Строим график функции и по чертежу находим интервалы, содержащие точки пересечения графика с осью , т.е. корни уравнения . Иногда уравнение удобно представить в виде и, построив графики функций и , определить интервалы, содержащие точки их пересечения.

Пример. Отделить корни уравнения .

Способ 1. Определяем знаки функции в ряде точек (таблица):

	-3	-2	-1
	-	-	+	+	+	-	+

Найдены три отрезка, на концах которых функция имеет разные знаки: , , .

Алгебраическое уравнение третьей степени имеет три корня. Следовательно, каждый из трёх указанных отрезков содержит один корень уравнения.

2. Метод половинного деления. Пусть найден отрезок , на котором находится единственный корень уравнения . Обозначим его . Для нахождения корня уравнения делим отрезок пополам. Если , то и задача решена. В случае выбираем ту половину отрезка , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок снова делим пополам, повторяем те же действия и т.д. В результате на каком-то этапе получаем точный корень уравнения или последовательность вложенных друг в друга отрезков , ,…, ,… . Доказано, что . Для вычисления корня уравнения с точностью до , отрезок делим до тех пор, пока выполнится условие . За приближённое значение корня берём среднюю точность отрезка :

.

Типовый вариант

Вычислить корни уравнения с точностью e=10^-5 на предварительно найденном интервале изоляции [a, b].

Реализация типового варианта

1. Запустите на выполнение среду программирования Microsoft Excel. По умолчанию создается новый документ. Сохраните документ на рабочий диск под уникальным именем:

1.1. Введите необходимую текстовую информацию для идентификации работы:

2. Внесите информацию о постановке задачи:

3. Для определения интервалов изоляции корней уравнения построим таблицу значений функции . Внесем начальное значение x и формулу для остальных значений абсциссы. Распространите формулу на всю таблицу:

4. Введите и распространите формулу значений функции :

5. Выделим интервалы аргумента, на которых функция меняет знак – это интервалы изоляции корней уравнения:

6. Постройте график исследуемой функции на основе таблицы, чтобы убедиться, что на выделенных интервалах кривая графика пересекает ось абсцисс:

7. Выберите один из интервалов изоляции корня уравнения. Постройте заголовок таблицы нахождения корня. Внесите начальные значения границ интервала a и b, формулу определения середины интервала c:

8. Введите формулу вычисления f(a):

9. Введите формулу вычисления f(b):

10. Введите формулу вычисления f(c):

11. Введите формулу условия прекращения итераций :

12. Для вставки условного оператора в ячейку A39 для определения нового значения левого интервала изоляции корня a воспользуйтесь мастером стандартных функций:

13. В диалоговой панели мастера выберите категорию функции, имя функции, ознакомьтесь с описаним функции и нажмите ОК:

14. Мастер предлагает ввести аргументы функции. Воспользуйтесь мастерами вставки аргументов в правой части окон редактирования:

15. В результате функция будет вставлена и вычислена:

16. Аналогично вставьте формулу для вычисления нового значения правой границы b:

17. Распространите формулы на нижнюю часть таблицы:

18. Расчеты можно проводить до строки, в которой условие в столбце G выполнится:

19. Выведем окончательное значение корня уравнения:

20. Сравните результаты, полученные в других средах программирования.

Варианты исходных данных

№ варианта	Определенный интеграл	№ варианта	Определенный интеграл

Поиск по сайту: