РОЗДІЛ 2. ЯКІСНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ ТА ПРОЦЕСІВ

2.1. Якісні зміни у соціально-економічних системах.

Поводження складних соціально-економічних систем супроводжується не тільки кількісними, але і якісними змінами. Розглянемо поняття «якість» і «якісні зміни».

Якість характеризує цілісну нерозчленовану визначеність предметів і явищ. Усякий предмет володіє нескінченими властивостями. Ми сприймаємо й пізнаємо лише незначну частину цих властивостей. Тим часом усякий предмет завжди з'являється перед нами як щось ціле, нерозчленоване, у вигляді зірки, каменю, будинок; дерева, заводу, фабрики й т.д.

Структура — це категорія, що характеризує розподіл взаємодія в просторі елементів, предметів і явищ, програму їхнього розвитку. Головна особливість структури – цілісність, якісна відмінність від складових її елементів. Структура дуже тісно пов'язана з якістю.

Зміна якості предметів у всіх випадках пов'язана з перебудовою структури їх складових елементів.

Розвиток може розглядатися як сукупна зміна у взаємозв'язку кількісних, якісних і структурних категорій у системі. Зупинимося більш докладно на цих змінах.

Кількісні зміни — це збільшення або зменшення складових частин даного цілого, що виражає збільшеннями або зменшенням їх числових значень, що призводять на певних етапах своєї зміни до якісного стрибка.

Структурні зміни — це зміни взаємовідношення складових частин, які не обов'язково повинні супроводжуватися збільшенням або зменшенням їх числа. Навпаки, число складових частин може залишатися незмінним. Тим часом структурні зміни також можуть приводити до якісного стрибка. Тому можна вважати, що як кількісні, так і структурні зміни відіграють причинну роль у якісних змінах. Згідно діалектиці, рушійною силою всяких змін у системі є протиріччя. Там, де немає внутрішніх або зовнішніх протиріч, там не може бути й змін. Що стосується кількісних змін, то вони обумовлені насамперед протиріччями, що існують у розглянутій системі з оточуючим її середовищем, у структурних змінах головну роль відіграють внутрішні протиріччя між елементами системи. Хоча варто відзначити, що структурні зміни не абсолютно байдужі до зовнішніх протиріч, однак роль останніх тут не велика.

Зупинимося тепер докладніше на механізмах якісних виробів.

Будучи матеріальними процесами, якісні перетворення так або інакше пов'язані з кількісними характеристиками матерії та енергії. Можна представити собі наступні види якісних змін системи.

1. Насамперед, предмети і явища можуть змінювати свою якість за рахунок кількісного додатка матерії й енергії у результаті взаємодії із зовнішнім середовищем. При цьому кількісні зміни матерії та енергії лише тоді змінюють якість, коли впливають безпосередньо на структуру. Конкретні процеси перебудови структури вивчають різні науки. Так, у фізиці встановлена здатність існувати в різних агрегатних станах одних і тих же речовин при різних термодинамічних умовах. B економіці можна встановити залежність структури системи від чисельності робочої сили й величини основних фондів. При певному їх рівні система стає неозорою і відбувається розпад структури (так, в 50-і роки від нафтової промисловості відділилася газова і т.д.).

Якісні зміни в системі можуть відбуватися також у результаті перерозподілу (без порушення балансу) енергії i матерії усередині самої системи. Фізичні системи, наприклад, володіють термодинамічною рівновагою, що відповідає максимуму ентропії. Аналогічно у замкнутих економічних системах: є тенденція до максимізації деякої цільової функції, яку можна розглядати як аналог фізичної ентропії. Усе це веде в остаточному підсумку до нової якості системи.

2. Якісні зміни системи можуть бути результатом зміни якості підсистем (елементів), що утворюють структуру системи. Так, при зміні виду кліток у живому організмі можуть з'являтися якісно нові структури. Аналогічно в економічних систем при зміні виду підсистем (наприклад, автоматизації й комп'ютеризації процесів їх функціонування) можуть з'являтися нові якості.

Тепер зупинимося на загальних властивостях законів розвитку систем. Під законом ми буде розуміти деякий спосіб вираження стійкості зв'язків і відносин між предметами і явищами, а також стійкості структури (організації) самих цих предметів і явищ. Іншими словами, закон виражає собою не тільки порядок перетворень предметів і явищ у процесі їх розвитку, але й спосіб їхнього існування, характер їхньої внутрішньої організації. Закони можна розділити на дві більші категорії:

· закони будови й функціонування характеризують внутрішній зв'язок між елементами системи й умовами збереження цілісності матеріальної структури об'єкта, її відносної стійкості у процесі безперервних змін;

· закони розвитку характеризують певну послідовність, ритм, темп і т.п. перебудови самих матеріальних структур зв'язок між різними співвідношеннями системних об'єктів.

Ця класифікація законів визначає два типи наук:

1) науки, що займаються вивченням законів взаєморозташування й взаємодії одночасно існуючих об'єктів (закони старіння й функціонування): геометрія, механіка, кристалографія, анатомія, фізіологія та ін.;

2) науки, що вивчають зміни одних об'єктів іншими або одних станів об'єктів іншими станами: космогонія, історична геологія, еволюційна біологія, ембріологія, генетика, фізика необоротних процесів і термодинаміка, теорія науково-технічного прогресу та, мабуть, економічна динаміка.

Характерно, що чим вище рівень розвитку, тим сильніше проявляється розходження між законами функціонування та розвитку.

Особливо розходження проявляється в суспільстві. Це, мабуть, один із проявів кумулятивного характеру розвитку, відображаючого закономірність прискорення поступального розвитку пропорційно квадрату відстані в часі від вихідної точки. Саме прискорення розвитку пов'язане з тим, що матеріальні структури системних об'єктів як би містять у собі пройдену історію та її закони. З іншої сторони, процес розвитку характеризується тенденцією до появи однотипних, матеріальних утворень, процесів і відповідно законів і поступовим «випадінням» нетипових утворень. Ці тенденції обумовлюють прояв у поведінці системних об'єктів загальних закономірностей, характерних для різних форм руху та досліджуваних різними науками (термодинамікою, кібернетикою, біологією, економікою, соціологією).

Варто вважати встановленим збіг категорій «закон» і «внутрішня форма». Внутрішня форма (структура) як закон припускає безперервну зміну змісту. Зміна розуміється при цьому як рухливість, динамічність змісту в рамках відносно стійкої форми, тобто відповідно до закону руху при заданому способі організації об'єкта. Що ж стосується закону розвитку, то він характеризує способи істотного перетворення об'єкта, тобто такої зміни, коли в наявності не тільки рухливість змісту, але й істотне перетворення самої внутрішньої форми (структури).

Якщо закони функціонування впливають на хід розвитку не безпосередньо, а опосередковано, у тій мірі, у якій вони впливають на об'єднуючі елементи структури, то перетворення внутрішньої структури обумовлено не звичайної, а особою, екстремальної, рухливістю елементів. Вона досягається у тому випадку, коли зміна умов зовнішнього середовища приводить не просто до зміни стану системи, а до такої її перебудови, що істотно змінює її структуру. Закони розвитку як би підкоряють собі закони дії. Закони функціонування не здатні самі по собі пояснити процес розвитку, вони лише розкривають спосіб руху, його механізм.

Лише перехід від вивчення законів функціонування однієї системи до множини (ансамблю) систем, що розрізняються по своїй структурі й характеру функціонування, дає можливість підійти до розуміння процесів розвитку.

2.2. ОПИС ЯКІСНИХ ЗМІН У ДИНАМІЧНИХ БЕЗПЕРЕРВНИХ СИСТЕМАХ

B загальному випадку поводження складної системи описується сукупністю інтегро-диференціальних рівнянь різних порядків.

Основним способом опису динаміки безперервних економічних систем є використання апарата диференціальних рівнянь.

Диференціальне рівняння — це рівняння, що містить невідому функцію однієї або декількох змінних; незалежні змінні й похідні невідомої функції по незалежним змінним.

Вирішити диференціальне рівняння означає знайти всі невідомі функції, що обертають рівняння в тотожність. B загальному випадку невідомі функції визначаються диференціальним рівнянням неоднозначно (якщо рішення взагалі існує), тому на шукані функції часто накладають додаткові умови. Існує певна класифікація типів диференціальних рівнянь, що дозволяє визначити способи знаходження аналітичних рішень диференціальних рівнянь.

Розглянемо основні поняття теорії диференціальних рівнянь.

Звичайним диференціальним рівнянням порядку r називається рівняння виду:

,

де r – порядок старшої похідної, вхідної до рівняння. Дане рівняння представлено в неявній формі.

Під диференційним рівнянням у явній формі розуміють диференціальне рівняння, дозволене відносно старшої похідної:

Під рішенням диференціального рівняння розуміють знаходження функції y(x), що задовольняє цьому рівнянню. При цьому сама функція y(x) називається рішенням диференціального рівняння.

Дане співвідношення являє собою, по суті, рішення диференційного рівняння щодо невідомої функції y(t).

Загальне рішення звичайного диференціального рівняння порядку r має вигляд:

де с₁, с_r – довільні постійні.

Завдання Коші (завдання з початковими умовами) — завдання про знаходження приватного рішення, що задовольняє r початковим умовам:

Якщо відомо загальне рішення, то для рішення завдання Коші постійні с₁ знаходять із системи рівнянь:

Крайова задача – це задача находження приватного рішення, яке задовольняє крайові умови для функції та її похідних на кінцях відрізку a£ x£ b, тобто при х = а та х = b.

диференціальне рівняння може мати рішення, які не можна одержати із загального рішення шляхом підстановки конкретних значень для постійних c_і.

Графічне зображення приватного рішення називають інтегральною кривою. Загальне рішення диференціального рівняння r-гo порядку визначає r-параметричне сімейство інтегральних кривих.

Система звичайних диференціальних рівняньдля невідомих функцій y₁(x), …, y_n(x) має вигляд:

Рішенням системи звичайного диференціального рівняння називається будь-яка впорядкована сукупність функції y₁(х),...,у_n{х), що обертає кожне рівняння у тотожність. K системі диференціальних рівнянь першого порядку можуть бути зведені рівняння вищих порядків.

Однієї з базових теорем теорії диференційних рівнянь є теорема існування та одиничності для задачі Коші.

Теорема Коші.

Нехай функції ∫_i (х,у₁,... ,у_n) системи диференціальних рівнянь першого порядку виду

безперервні й обмежені в замкнутій області та виконується умова Липшица. Тоді система із заданими початковими умовами має єдине рішення в заданій області.

Найбільше часто для моделювання економічних процесів використовуються диференціальні рівняння 1-го порядку, оскільки вхідні в них складові мають досить простий економічний зміст. A саме: похідна першого порядку деякої функції є приріст, тобто величина, часто використовувана в економічному аналізі.

Серед рівнянь першого порядку виділяються:

1.1. Диференціальні рівняння з поділяючими змінними.

1.2. Однорідні диференціальні рівняння.

1.3. Рівняння, що приводять до однорідного.

1.4. Рівняння в повних диференціалах.

1.5. Неоднорідні диференціальні рівняння.

1.6. Приватні типи рівнянь (Бернуллі).

По виду функцій розрізняють також лінійні та нелінійні диференційні рівняння, з постійними та змінними коефіцієнтами та ін.

Важливим у класифікації типів диференціальних рівнянь є поняття автономності. Якщо диференціальне рівняння не містить явну незалежну змінну, якою є час, то воно називається автономним диференціальним рівнянням. B цьому випадку поведінка рішення залежить тільки від стану системи та не залежить від часу. Будь-яке неавтономне рівняння може бути перетворене в автономну систему диференціальних рівнянь за допомогою введення нової невідомої змінної.

На відміну від звичайних диференціальних рівнянь диференціальні рівняння в частинних похідних не знайшли ще свого застосування в моделюванні економічних систем.

Для опису дискретних динамічних систем, тобто таких, поводження яких розглядається в дискретні моменти часу, застосовуються кінцево-різницеві рівняння. Вхідні в їхній склад кінцеві різниці є дискретним аналогом похідних.

Якщо відомий ряд спостережень за деякою величиною y₁, y₁,...,y_t,...,y_τ, то кінцевою різницею 1-го порядку називається

Кінцево-різницеве рівняння включає кінцеві різниці різних порядків і може бути приведене до виду:

Кінцево-різницеві рівнянні часто застосовуються в тих випадках, коли систему можливо спостерігати лише в певні моменти часу. Така ситуація типова для економіки, де практично всі величини виміряються з деякою періодичністю, тобто чітко в певні моменти.

2.3. ЯКІСНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ПОВЕДІНКИ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

Застосування якісної теорії до аналізу динамічних систем при вивченні соціально-економічних явищ не досить поширено та носить епізодичний характер. B основному проблемам якісного аналізу динамічних систем приділяється місце в закордонних наукових джерелах. Однак якісна теорія є ключем для розуміння складних явищ.

Завдання якісного методу — одержання якісного результату, тобто характерних рис усього явища відразу та, частково,— прогнозування явища. Математична частина якісного дослідження системи складається у зіставленні фазового портрета реальним соціально-економічним процесам або об'єктам разом із проведенням аналізу. При цьому повний якісний аналіз виникаючих систем рівнянь проводити, виявляється, немає необхідності, тому що властивості реального об'єкта встановлюють обмеження як на фазове рішення, так і на рівняння. B деяких випадках виявляється достатнім тільки знання області стійкості, положення рівноваги і їхньої економічної інтерпретації. B останні роки в якісній теорії зріс інтерес до нової якісної структури, так називаному дивному аттрактору, з яким зв'язують модель хаосу.

Розглянемо застосування якісного аналізу на прикладі.

Приклад.

Розглянемо модель росту обсягу продаж нового продукту, представленого на ринку. Для цього можна використати рівняння, загальний вид якого x'= G(x), де G(x) — нелінійна функція, що задовольняє умовам: G(O) = 0; G(b)=0; G'(x)>0 при , G'(x)<0 при , .

Тут х(t) — кількість продажів у момент часу t; b — максимально можливе значення величини, рівень насичення. Цей тип поведінки може бути досліджений за допомогою фазового графіка, тобто графіка функції, що виражає залежність x' від x. Очевидно, що графік х'=G(x), що відповідає опису, це парабола (рис. 2.1).

Значення похідної x', що відповідає деякому значенню x по рис. 2.1, збігається з тангенсом кута нахилу функції X= H(t). Намалюємо криву росту H(t) = x(t), що відповідає опису x' = G (x).

C перебігом часу x(t) зростає, тому в міру руху вправо крива H(t) (рис. 2.2) зростає. Цікавою властивістю кривої є поведінка її кута нахилу. На рис. 2.1 значення G(x) спочатку зростає від 0 до , після чого спадає до 0 у точці b. На рис. 2.2 аналогічна відповідність: збільшення G(x) означає збільшення кута нахилу дотичній H(t) зі зростанням t до точки , за точкою , де G(x) спадає, H(t) продовжує зростати, але у меншому значенні, тангенс кута нахилу дотичній зменшується. У міру того, як G(x) стає менше, наближається до 0 у крапці X =b, H(I) наближається до своєї асимптоти. Отримана крива (рис. 2.2) називається логістичною. Таким чином, виходячи із властивостей функції G(x):G(x)=ax(b - x), деа > 0; 0<x < b; b - максимально можливе значення величини x.

Рис. 2.1. Фазовий графік об’єму продажів

Рис. 2.2. Крива зростання

Розглянемо отримане логістичне рівняння:

(2.1)

В процесі його вирішення при початковій умові х(0) = 1, отримаємо рішення:

. (2.2)

З графіка (рис.2.2) видно, що в початкові моменти часу при t→0 x(t) має найбільший ріст, що практично збігається з експонентним, потім наступає період, у якому темп росту x(t) сповільнюється в міру її наближення до рівня дослідження x = b.

Дійсно, за знаком x можна визначити тип стійкості точки рівноваги.

Для розглянутого приклада система, описувана рівнянням x = ax(b - x), має рівновага x = 0 і x = b, тобто два стаціонарних рішення x = 0 і x = b.

Розглянемо точку x = 0, оскільки x` негативно для негативних значень x, то x(t) убуває зі зміною t. Це означає, що якщо ми маємо невелике збурювання в області позитивних значень від точки рівноваги, рішення буде продовжувати віддалятися від положення рівноваги, тобто точка рівноваги x = 0 нестійка.

Далі розглянемо точку x = b. Похідна x позитивна для значень x між 0 і b і, отже, рішення x = x(t) — зростаюча функція, точка x рухається вправо по фазовій прямій у напрямку до точки рівноваги. Тому що x негативно для значень x, більших b, те x(t) убуває, і точка x рухається по фазовій прямій зі зменшенням своєї координати (уліво) до точки рівноваги. Із цих спостережень можна зробити висновок, що точка x = b — стійка. Hа рис. 2.3 ці результати представлені у графічному виді.

Таким чином, ґрунтуючись на якісному аналізі диференціального рівняння за допомогою фазового графіка й не вирішуючи його, ми одержали глибоке розуміння поводження його рішень. Якщо дано початкову умову для x, то можна впевнено сказати, як рішення x(t) буде поводитися із часом (зростати або убувати), і до якого значення воно буде сходитися.

B частковості за умови х₀ > 0 можна зробити висновок, що x(t) буде сходитися до значення x = b.

Рис. 2.3. Характеристика стійкості ситуацій рівноваги

Такий аналіз дуже важливий, тому що в дійсності в економічних додатках рідко вдається знайти явне рішення нелінійних диференціальних рівнянь.

B загальному випадку якісний аналіз націлений на виявлення крапок рівноваги й умов стійкості рішень.

Формальні методи теорії стійкості і якісного аналізу динамічних систем будуть обговорюватися у розділі 3.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1) У чому відмінності кількісних, якісних та структурних змін в системах?

2) Які існують механізми якісних змін?

3) У чому заклечається основна задача якісного аналізу динамічних систем?

4) Яким чином проводиться якісний аналіз?

5) Який вигляд має звичайне диференціальне рівняння? Система диференціальних рівнянь?

6) Що означає вирішення диференціального рівняння?

7) Скільки існує варіантів рішення задача Коші?

8) В чому різниця між загальним та приватним рішенням диференціального рівняння?

9) Сформулюйте теорему Коші.

10) Які виділяються види диференціальних рівнянь 1-го порядку?

Поиск по сайту: