РОЗДІЛ 1. ПРИНЦИПИ МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

1.1 Динамічні системи та їхні властивості

Найбільш загальне визначення динамічної системи наступне: динамічної називається система, параметри якої явно або неявно залежать від часу. Із цього визначення треба, що якщо для поведінки системи визначені функціональні рівняння, то в них включаються в явному виді змінні, стосовні до різних моментів часу.

Розглянемо найважливіші властивості складних динамічних систем.

1. Цілісність (емерджентність).

B системі окремі частини функціонують спільно, становлячи в сукупності процес функціонування системи як цілого. Сукупне функціонування різнорідних взаємозалежних елементів породжує якісно нові функціональні властивості цілого, що не мають аналогів у властивостях його елементів. Це означає принципову незвідність властивостей системи до суми властивостей її елементів.

2. Взаємодія із зовнішнім середовищем.

Система реагує на вплив навколишнього середовища, еволюціонує під цим впливом, але при цьому зберігає якісну визначеність і властивості, що відрізняють її від інших систем.

3. Структура.

При дослідженні системи структура виступає як спосіб опису її організації. B залежності від поставленого завдання дослідження виробляється декомпозиція системи на елементи та вводяться відносини й зв'язки між ними, істотні для розв'язуваної проблеми. Разом з тим декомпозиція системи на елементи й зв'язки визначається внутрішніми властивостями розглянутої системи. Структура динамічна по своїй природі, її еволюція в часі й просторі відбиває процес розвитку систем.

4. Нескінченність пізнання системи.

Під цією властивістю розуміється неможливість повного пізнання системи й всебічного подання кінцевою безліччю описів, тобто кінцевим числом якісних і кількісних характеристик. Тому система може бути представлена нескінченним числом структурних і функціональних варіантів, що відбивають різні аспекти системи.

5. Ієрархічність системи.

Кожний елемент у декомпозиції системи може розглядатися як цілісна система, елементи якої, у свою чергу, можуть бути також представлені як системи. Але з іншого боку, будь-яка система - лише компонентів більше широкої системи.

6. Елемент.

Під елементом розуміється найменша ланка в структурі системи, внутрішня будова якого не розглядається на обраному рівні аналізу. B відповідності із властивістю 5 (ієрархічність системи) будь-який елемент є системою, але на обраному рівні аналізу ця система характеризується тільки цілісними характеристиками.

Цілісність, структура, елемент, нескінченність і ієрархічність становлять ядро системо утворюючих понять загальної теорії систем і є основою системного подання об'єктів і формування концепцій системних досліджень.

Однак для більше докладного вивчення властивостей динамічних економічних систем (ЭС) необхідно розглянути ще ряд найважливіших властивостей і характеристик.

1. Стан системи. Стан системи визначається станами її елементів. Теоретично можливий набір станів дорівнює числу можливих сполучень всіх станів елементів. Однак взаємодія складових частин приводить до обмеження числа реалізованих сполучень. Зміна стану елемента може відбуватися неявно, безупинно й стрибкоподібно.

2. Поведінка системи. Під поводженням системи розуміється закономірний перехід з одного стану в інше, обумовлений властивостями елементів і структурою.

3. Безперервність функціонування. Динамічним системам властива безперервність функціонування. Система існує поки функціонують соціально-економічні й інші процеси в суспільстві, які не можуть бути перервані, інакше система перестане функціонувати. Всі процеси в ЭС, як у живому організмі, взаємозалежні. Функціонування частин визначає характер функціонування цілого, і навпаки. Функціонування системи пов'язане з безперервними змінами, нагромадження яких приводить до розвитку.

4. Розвиток системи. Життєдіяльність складної системи представляє собою постійну зміну фаз функціонування й розвитку що виражається в безперервної функціональній і структурній перебудові системи, її підсистем і елементів.

Еволюція економічних систем визначається одним з найважливіших властивостей складних систем - здатністю до саморозвитку. Центральним джерелом саморозвитку є безперервний процес виникнення й дозволу протиріч. Розвиток, як правило, пов'язане з ускладненням системи, тобто зі збільшенням її внутрішнього різноманіття.

5. Динамічність. Економічна система функціонує й розвивається в часі, вона має передісторію й майбутнє, характеризується певним життєвим циклом, у якому можуть бути виділені певні фази: виникнення, ріст, розвиток, стабілізація, деградація, ліквідація або стимул до зміни.

6. Складність. Економічна система характеризується більшим числом неоднорідних елементів і зв'язків, поліфункціональністю, поліструктурністю, багатокритеріальністю, багатоваріантністю розвитку й властивостями складних систем.

7. Гомеостатичністъ. Гомеостатичність відбиває властивість системи до самозбереження, протидія руйнуючим впливам середовища.

8. Цілеспрямованість. Всім динамічним системам в економіці властива цілеспрямованість, тобто наявність певної мети й прагнення до її досягнення. Розвиток системи зв'язаний саме зі зміною мети.

9. Керованість. Свідома організація цілеспрямованого функціонування системи і її елементів називається керованістю. B процесі життєдіяльності система за допомогою цілеспрямованого керування дозволяє постійно виникаючі в ній протиріччя й реагує на зміну внутрішніх і зовнішніх умов свого існування. B відповідності з умовами, що змінюються, вона міняє свою структуру, коректує мети розвитку i зміст діяльності елементів, тобто відбувається цілеспрямована самоорганізація системи, що на практиці реалізує здатність до саморозвитку. Однієї з основних функцій самоорганізації є збереження в процесі еволюції системи її якісної визначеності.

Властивості керованості проявляються також у таких особливостях, як відносна автономність і функціональна керованість.

Відносна автономність функціонування економічно систем означає, що в результаті дії зворотного зв'язку кожна й складових вихідного сигналу може бути змінена за рахунок зміни вхідного сигналу, причому інші складові залишаються незміненими.

Функціональна керованість економічної системи означає, що підходящим вибором вхідного впливу можна досягти будь-якого вихідного сигналу.

10. Адаптивність. Адаптивність економічної системи визначається двома видами адаптації - пасивної й активної. Пасивна адаптація є внутрішньо властивою характеристикою економічної системи, що має у своєму розпорядженні певними можливостями саморегулювання. Активна адаптація представляє механізм адаптивного керування економічної системи й організацію його ефективного здійснення.

11. Інерційність. Інерційність економічної системи позначається у виникненні запізнювання в системі, симптоматично реагуючої на обурюючі і управляючі впливи. Таки запізнювання враховуються, зокрема, за допомогою лагів, включених у моделі опису систем. Розрізняють внутрішні лаги, або лаги прийняття рішень, щодо стабілізуючий вплив і зовнішні лаги, що відбивають затриману реакцію системи на відповідний вплив.

12. Стійкість. Система визнається стійкою відносно введеного визначення околиці, якщо при досить малих змінах умов функціонування її поводження значно не змінюється. B рамках теорії систем досліджуються структурна стійкість і стійкість траєкторії поводження системи. Стійкість ЕС забезпечується такими аспектами самоорганізації, як диференціація й лабільність (чутливість). Диференціація — це прагнення системи до структурної й функціональної розмаїтості елементів, що забезпечує не тільки умови виникнення й дозволу протиріч, але й визначає здатність системи швидко пристосовуватися до наявних умов існування. Більше розмаїтості — більше стійкості, і навпаки. Лабільність означає рухливість функцій елементів при збереженні стійкості структури системи в цілому.

13. Стан рівноваги. Стійкість системи пов'язана з її прагненням до стану рівноваги, що припускає таке функціонування елементів системи, при якому забезпечується підвищена ефективність руху до цілей розвитку. B реальних умовах система не може повністю досягти стану рівноваги, хоча й прагне цього. Елементи системи функціонують по-різному в різних умовах, і їхня динамічна взаємодія постійно впливає рух системи. Система прагне рівноваги, на це спрямовані зусилля управління, але, досягаючи його, вона відразу від нього йде. Таким чином, стійка економічна система постійно перебуває в стані динамічної рівноваги, вона безупинно коливається щодо положення рівноваги, що є не тільки її специфічною властивістю, але й умовою безперервного виникнення протиріч як рухомих сил еволюції.

1.2 Формальне визначення динамічної системи

Формально динамічна система в загальному вигляді може бути задана наступним кортежем:

М = Б < Т, Ф, Х, Ω, V, Y, G, R >.

Властивості динамічної системи задаються наступними аксіомами:

1. Для системи S задано безліч моментів часу Т, макрофункція системи Ф, безліч вхідних впливів Х, безліч обурень Ω, безліч стані V, безліч значень вихідних величин Y, структура системи G, відношення емерджентності R.

2. Безліч Т являє деяке впорядковану підмножину безлічі речових чисел, представляюче собою безліч моментів часу, в яких вивчається система.

3. Макрофункція системи визначається за допомогою двох функцій:

S: X → Y и V: X × Y → C,

де S – функціональна модель об’єкта; V – функція якості, або оціночна функція; C – безліч оцінок. Макрофункція системи визначається парою Ф = (S, V).

4. Безліч обурень Ω або безліч невизначеностей, являє собою безліч усіх можливих впливів, котрі позначаються на поведінці системи.

Якщо така безліч Ω не пуста, т. ч. Ω ≠ 0, то функціональна модель об’єкта приймає вигляд:

S: X × Ω →Y

а оціночна функція

V: X × Ω × Y > C.

5. Існує перехідна функція стану

φ = Ф × Ф × V × X → V,

значеннями якої слугує стан u(t) = φ(t, r, u, x) V, в яких виявляється система в момент часу t Т, якщо в початковий момент τ<t вона знаходилась у стані u(t) V і на протязі відрізку [τ, t] на ній позначався вхідний вплив х Х.

6. Задано вихідне відображення:

ŋ: Т × V → Y,

визначаюче вихідні величини: y (t) = ŋ (t, u(t)).

Пару (τ, u), де t Т, таu V, називають станом або фазовими координатами системи S, а множину T × V – простором станів системи.

Кінцевий набір станів системи t₁, t₂ Т, заданий перехідною функцією φ і визначений на певному часовому відрізку [t₁, t₂], називається траєкторією поведінки системи на інтервалі [t₁, t₂], при заданих початкових умовах.

Кажучи про рух системи, ми будемо мати на увазі траєкторію поведінки даної системи. Сукупність траєкторії системи, які відповідають її різним (всім можливим) початковим станам, називаються фазовим портретом системи.

7. Структура системи G визначається в термінах теорії графів:

, , ,

де S_i – вершини, (S_i, S_j) – дуги графів.

8. Відношення емерджентності R: Ф → G.

Розглянуте поняття динамічної системи дозволяє виробити загальну термінологію, уточнити концептуалізацію й забезпечити єдиний підхід до опису загальних властивостей.

1.3 Математичний апарат опису динамічних характеристик складних систем

Якщо поведінку системи розглядати як ланцюг послідовних кінцевих змін її станів, то змінні системи, змінюючись у часі, у кожний даний момент будуть характеризуватися певними значеннями. Якщо одне певне значення змінної и₁ у момент часу t₁, перетворюється в наступне значення и₂ у момент часу t₂, то вважається, що відбувся перехід з (и₁, t₁) в (и_2, t₂). Фактор, під дією якого відбувається перехід, називається оператором. Змінна, що випробувала вплив оператора , називається операндом. Результат переходу — (и_2, t₂) називається образом. Якщо розглядати деяку множину всіх переходів системи зі стану а в стан b, зі стану с у стан d і т.д., то така множина переходів для деякої безлічі операндів називається перетворенням.

Перетворенням можна дати математичне представлення за допомогою методу, запропонованого У. Ешбі.

Нехай множина станів деякої системи включає стани a, b, c, dі на цю безліч операндів діє оператор Р. Тоді поводження системи можна описати таким чином:

.

B першому рядку запису перераховані стани системи, або операнди. У другому рядку під кожним операндом перебувають образи, у які система переходить зі стану, записаного у верхньому рядку, під дією оператора P. B цьому прикладі множина елементів другого рядка не містить жодного нового елементу в порівнянні з першим. Перетворення, яке не породжує нові елементи, називається замкнутим.

На рис. 1.1 представлений граф переходів з приведеним вище перетворенням.

Рис. 1.1. Граф переходів станів системи

В іншому перетворенні - - міститься новий елемент е, отже, перетворення виходить за межі вихідної множини станів системи і називається не замкнутим. Перетворення виду є однозначним, взаємно однозначним і замкнутим. Перетворення виду є тотожним.

Існують інші, більш компактні, форми запису операндів. Наприклад, перетворення можна записати таким чином:

ń→ n+3 (n = 1, 2, 3, 4).

Перетворення також можна представити у матричній формі, наприклад, для перетворення виду отримуємо матрицю переходів

де операнди представлені у заголовку стовпця, а образи – у заголовку строки.

Наведений приклад описує зміну станів системи з детермінованою дією, що описана однозначним перетворювачем. Однозначність перетворення означає, що система не може перейти у два або більше стани при заданому вихідному. Таким чином, детермінована динамічна система поводиться так само, як замкнуте однозначне перетворення.

Якщо в систему (або її зовнішнє середовище) входять стохастичні елементи, то переходи зі стану в стан не будуть строго детермінованими. B цьому випадку перетворення повинне відображати не тільки можливі нові стани системи, але й імовірність, з якою ці стани здійсняться. Наприклад, дано перетворення при ймовірності .

В матричній формі це перетворення матиме наступний вигляд:

Система подій може бути описана за допомогою апарату символічної логіки. Логічні функції заперечення, кон’юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквіваленції широко застосовуються при моделюванні автоматичних систем.

Розрізняють три типи, або режими поведінки системи: рівноважний, перехідний і періодичний.

Стан рівноваги системи може розглядатися як певна тотожність перетворень, що відбуваються в ній, що визначають однаковий стан системи в будь-який момент часу. B рівноважній системі кожна частина перебуває в стані рівноваги в умовах, обумовлених іншими її частинами.

Властивість стійкості неутотожнена з рівновагою. Під стійкістю системи розуміється збереження її стану незалежно від зовнішніх обурень.

При вивченні поводження динамічних систем важливим є дослідження характеру перехідних процесів. Перехідний процес - це процес зміни в часі координат динамічної системи при її переході з одного сталого стану в другий під дією прикладеного обурення, що змінює стан, структуру або параметри системи, або внаслідок ненульових початкових умов. Важливими характеристиками динамічної системи є тривалість і характер перехідного процесу.

B безперервних системах, як правило, встановлений режим (тобто режим стійкого функціонування), досягається за нескінченно великий час. B залежності від характеру в безперервних системах розрізняють коливальний і монотонний перехідний процес.

Для дискретних систем перехідний процес можна визначити як послідовність станів, викликаних зовнішнім обурюючим впливом, котру система проходить при постійних умовах, до її повернення в сталий режим функціонування.

До понять рівноваги й стійкості примикає поняття цикл у перетворенні системи.

Циклом називається така послідовність станів системи, при якій повторна зміна перетворень примушує систему проходити повторно цю послідовність. Це можна проілюструвати перетворенням виду (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Граф циклічного перетворення

Якщо в початковий момент система знаходилась у стані а, то отримаємо послідовність станів:

а …

Очевидно, виділяється цикл довжиною 4. Перехід a→з можна розглядати як перехідний процес до сталого циклічного поводження.

На підставі знань про перетворення, пов'язаних із системою, вивчаються стани рівноваги, перевіряється, чи зміниться стан системи, підданої яким-небудь впливам, чи є стан рівноваги системи досить стійким, і якщо так, то який режим поведінки досліджуваної системи. Якщо задано деякий стан (або стани) і конкретні збурювання, то аналізується, чи повернеться система після зсуву у свою вихідну область. Для безперервних систем розглядається питання, чи є вона стійкою проти всіх збурень усередині певної області значень.

Більш загальним є опис систем за допомогою набору функцій: перехідної, передатної та імпульсної. На відміну від наведеного вище цей спосіб придатний для опису безперервних систем, що складаються з безлічі елементів.

Перехідна функція - це функція, що відбиває реакцію динамічної системи на вхідний сигнал при нульових початкових умовах. Перехідна функція є важливою характеристикою системи, що повністю визначає її динамічні властивості. Знаючи перехідну функцію h(t), можна визначити сигнал y(t) на виході системи при подачі в момент часу t₀=0 на її вхід сигналів x(t):

(1.1)

Передатна функція - це функція, що представляє собою відношення перетворення Лапласа Y(p) вихідної координати y(t) лінійної динамічної системи (або окремої ланки) до перетворення Лапласа Х(р) її вхідної координати x(t) при нульових початкових умовах: W(p) = Y(p)/X(p). Передатна функція лінійних фізично реалізованих динамічних систем з постійними параметрами є дрібно-раціональними функціями параметра перетворення Лапласа р.

Передатні функції - зручний опис властивостей лінійної системи автономного управління. Дослідження корінь передатної функції (нулів і полюсів) повністю визначає усі динамічні властивості системи (стійкість та ін.).

Імпульсна функція задає вхідний сигнал, що надійшов у систему. Вона може мати, наприклад, східчастий вид, одиничний вплив і т.п.

Для лінійних динамічних систем імпульсна функція g(t) і передатна функція w(p) пов'язані з перехідною функцією h(t) співвідношеннями:

(1.2)

(1.3)

де с – компонента абсолютної збіжності.

При описі властивостей багатоланкової системи використаються передатні функції її ланок. При цьому використаються наступні типи з'єднань:

1) передатна функція n ланок, що з'єднуються послідовно;

2) передатна функція паралельного з'єднання n ланок;

3)передатна функція ланки, охопленої зворотним зв'язком.

Перехідні й передатні функції широко використаються пакетах програм імітаційного моделювання й прогнозування на основі нейронних мереж.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1) Що вивчає економічна динаміка?

2) Яка система називається динамічною? Якими складовими формально описується динамічна система?

3) Що являє собою траєкторія поведінки системи?

4) Які основні якісні характеристики складної системи? Подайте коротке пояснення кожній властивості.

5) У чому різниця поведінки і розвитку системи?

6) Що мається на увазі під рівновагою системи?

7) Які види перетворень використовуються для опису динамічних характеристик систем?

8) У чому різниця стохастичного перетворення від детермінованого?

9) Дайте характеристику трьом режимам поведінки системи: рівноважному, перехідному та періодичному.

10) У чому полягає властивість стійкості системи?

11) Що являє собою перехідна та передатна функції?

Поиск по сайту: