Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них, йдуть незалежно одна від одної і після взаємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення називається принципом суперпозиції.
- при поширенні декількох хвиль в лінійному середовищі, тобто середовищі де властивості хвиль не змінюються під дією різних збурень створюваних хвилями, кожна з них поширюється так, начебто інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинок середовища в будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зміщень, які одержують частинки, беручи участь у кожному окремому хвильовому процесі.
Виходячи з принципу суперпозиції будь-яка хвиля може бути подана у вигляді системи синусоїдальних хвиль, тобто у вигляді хвильового пакета, або групи хвиль.
Хвильовим пакетом називається суперпозиція хвиль, які мало відрізняються одна від одної за частотою, і займають в кожен момент часу обмежену область простору.
«Виготовимо» найпростіший хвильовий пакет із двох хвиль, які поширюються уздовж осі х з однаковими амплітудами і близькими частотами і відповідно хвильовими числами. Нехай і .Тоді
(5.1)
Хвиля (5.1) не є синусоїдальною, тому що її амплітуда повільно змінюється в залежності від координати х і часу t
. (5.2)
За швидкість поширення цієї несинусоїдальної хвилі (хвильового пакета) приймають швидкість переміщення максимуму амплітуди хвилі, вважаючи тим самим максимум як центр хвильового пакета. За умови, коли , одержимо
(5.3)
Швидкість u є груповою швидкістю.Її можна визначити як швидкість руху групи хвиль, що утворюють у кожен момент часу локалізований у просторі хвильовий пакет.
Знайдемо зв’язок між груповою й фазовою швидкостями хвиль. У формулу (5.3) підставимо значення циклічної частоти ω, вираженої черезхвильове число к і фазову швидкість υ, тобто
або
(5.4)
При виведенні (5.4) враховано що і .
Аналізуючи формулу (5.4) можна зробити висновок, що групова швидкість може бути і меншою і більшою фазової швидкості. Все залежить від знаку похідної .
У середовищі, в якому фазова швидкість не залежить від довжини хвилі, групова швидкість збігається з фазовою швидкістю.
Поняття групової швидкості дуже важливе, тому що саме вона фігурує при вимірюванні дальності в радіолокації, у системах керування космічними об'єктами і т.д. У теорії відносності доводиться, що групова швидкість , у той час як для фазової швидкості обмежень не існує.
Інтерференція хвиль
Узгоджене проходження в часі і просторі декількох коливань або хвильових процесів пов'язується з поняттям когерентності.
Дві хвилі називаються когерентними, якщо вони мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі.
Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому має місце стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ослаблення в інших в залежності від співвідношення між фазами цих хвиль.
Розглянемо накладення двох плоских хвиль, які випромінюються точковими джерелами S1 і S2 (рис.28) з амплітудами А1 і А2 , частотами ω1 і ω2, хвильовими числами к1 і к2.
Рис. 28
Точкові джерела S1 і S2 випромінюють в напрямі точки М плоскі хвилі, рівняння яких мають вигляд
(5.5)
де r1 і r2 — відстані від джерел хвиль до точки М; к1 і к2 — хвильові числа; φ1 і φ2 — початкові фази обох хвиль; ω1 і ω2 ─ циклічні частоти хвиль.
Результуючу амплітуду при накладанні двох однаково направлених хвиль (5.5) знаходимо графічним методом
. (5.6)
Окремі випадки:
1. Нехай ω1≠ ω2, к1≠к2, φ1≠φ2.
В цьому випадку жодна складова правої сторони рівняння (5.6) не дорівнює нулю, а тому можна визначити лише середнє значення результуючої амплітуди. Оскільки середнє значення косинуса за час в один період дорівнює нулю, то
(5.7)
Рівняння (5.7) показує, що в цьому випадку в точці М відбувається просте додавання інтенсивностей (I ~ A2)
2. Нехай ω1 = ω2, к1=к2, φ1= φ2, A1 = A2 = A0.
В цьому випадку рівняння (4.7) матиме вигляд
. (5.8)
Вираз під функцією косинуса в рівнянні (5.8) не залежить від часу , а тому не підлягає усередненню. Результуюча інтенсивність при накладанні двох хвиль в цьому випадку буде дорівнювати
(5.9)
Рівність (5.9) показує, що розподіл інтенсивності при накладанні двох хвиль з рівними циклічними частотами, хвильовими числами й початковими фазами в різних точках простору буде різною. Такі хвилі називаються когерентними, а явище називається інтерференцією.
Проведемо аналіз співвідношення (5.9).
1. Якщо кΔr =± 2nπ, де n = 1, 2, 3, … і к = ─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати
. (5.10)
Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається ціле число хвиль, то при їх накладанні інтенсивність зростає в 4 рази. Ця умова є умовою максимумів інтерференції, тобто
, де n = 0, 1, 2, 3, … ─ умова максимумів інтерференції.
2. Якщо кΔr = ± (2n +1), де n = 1, 2, 3, … і к = ─ інтенсивність при накладанні двох когерентних хвиль буде дорівнювати
(5.11)
Якщо в різниці ходу двох когерентних хвиль вкладається непарне число півхвиль, то при їх накладанні результуюча інтенсивність буде дорівнювати нулю. Ця є умовою мінімумів інтерференції, тобто
Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі. Стоячі хвилі - це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширю-ються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами.
Нехай дві плоскі хвилі поширюються назустріч одна одній вздовж осі х в пружному середовищі без затухання, при цьому виберемо початок відліку х так, щоб початкова фаза φ дорівнювало нулю, тобто
(5.12)
Додамо ці рівняння і враховувавши, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі
(5.13)
Множник показує, що в точках середовища виникає коливання з тією самою ж частотою ω, що і коливання зустрічних хвиль.
Множник , який не залежить від часу, виражає амплітуду Аст результуючих хвиль, точніше ─ амплітуда як величина позитивна, дорівнює абсолютному значенню цього множника:
(5.14)
Амплітуда результуючого коливання залежить_від координати х, що визначає положення точок середовища. Точки середовища, де амплітуда Астдосягає максимального значення 2А, називаються пучностями стоячої хвилі. Координати пучностей визначають із умови
(m=0, 1, 2, …). (5.15)
Точки середовища, де Аст= 0 називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються. Координати вузлів визначаються із умови
(m = 0, 1, 2, …). (5.16)
Із співвідношень (5.15) і (5.16) координати пучностей і вузлів відповідно дорівнюють
, і (5.17)
Відстань між двома сусідніми пучностями отримаємо, якщо знайдемо різницю двох значень хпдля двох послідовних значень т:
тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля
(5.18)
Відстань вузла від найближчої пучності дорівнює:
(5.19)
На рис. 29 наведено характер руху частинок середовища при встановленні в ньому поперечної стоячої хвилі через проміжок часу T/2. Стрілками показано напрямки руху частинок, які викликані тією чи іншою хвилею.
Рис. 29
Отже, в стоячій хвилі є ряд нерухомих вузлових точок, які розміщені на відстані півхвилі одна від одної. Частинки між вузлами коливаються з різними амплітудами, від нуля у вузлі до подвійної амплітуди у пучноcті. Всі частинки одночасно проходять через положення рівноваги і одночасно досягають максимальних відхилень, отже, коливаються в однакових фазах. В суміжному інтервалі між вузлами характер коливань такий самий, але фаза протилежна.
У стоячій хвилі енергія не переноситься - повна енергія коливань кожного елемента об'єму середовища, обмеженого сусіднім вузлом і пучністю, не залежить від часу. Вона лише переходить з кінетичної енергії в потенціальну енергію пружно деформованого середовища і навпаки. Відсутність перенесення енергії стоячою хвилею є результатом того, що падаюча і відбита хвилі, які утворюють цю стоячу хвилю, переносять енергію в рівних кількостях і в протилежних напрямках. Лише в межах відстаней, рівних половині довжини хвилі, відбуваються взаємні перетворення кінетичної енергії в потенційну і навпаки.
На межі, де відбувається відбивання хвилі, може утворюватись як вузол так і пучність. Якщо середовище, від якого відбувається відбивання хвилі менш густе, то в місці відбивання буде утворюватись пучність (рис.30,а). Утворення вузла можливе лише при відбивання хвилі від більш густого середовища (рис.30,б).
Рис. 30
Утворення вузла пов’язано з тим, що хвиля, відбиваючись від більш густого середовища, змінює свою фазу на протилежну. Тому накладання хвиль різних напрямків приводить до утворення вузла.
Якщо ж хвилі відбиваються від менш густого середовища, то зміни фази хвиль не відбувається. Хвилі тут накладаються в тій самій фазі, а тому в місці накладання утворюється пучність.