Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Додавання гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти. Биття



Для тіла, яке одночасно приймає участь у декількох коливальних процесах, необхідно знайти результуюче коливання, іншими словами, ці коливання необхідно додати. Додамо два гармонічні коливання одного напрямку й однакової циклічної частоти, рівняння яких такі

. (2.1)

Для знаходження результуючої амплітуди при додаванні двох однаково напрямлених гармонічних коливань скористаємось графічним методом й побудуємо векторну діаграму амплітуд цих коливань . Якщо вектори Α1 і А2 будуть обертаються з однаковою кутовою швидкістю , то різниця фаз між ними залишається постійною, тому векторна діаграма буде мати вигляд (рис.6).

Рис. 6

Очевидно, що рівняння результуючого коливання буде дорівнювати

(2.2)

 

З векторної діаграми (рис.6) видно, що у виразі (2.2) амплітуда А й початкова фаза α відповідно будуть дорівнювати

 

(2.3)

 

(2.4)

 

Таким чином, тіло, беручи участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку й однакової частоти, виконує також гармонічне коливання у тому ж напрямку і з тією ж частотою, що і коливання, які додаються. Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз цих коливань.

Проаналізуємо вираз (2.3) в залежності від різниці фаз :

1) Якщо тоді тобто ампліту-да результуючого коливання А дорівнює сумі амплітуд цих коливань;

2) Якщо тоді тобто амплітуда результуючого коливання дорівнює різниці амплітуд цих коливань.

Для практичних цілей особливе значення має випадок, коли циклічні частоти двох гармонічних коливань однакового напрямку мало відрізняються одна від одної. В результаті додавання таких коливань одержуємо результуюче коливання, в якому амплітуда періодично змінюється. Періодичні зміни амплітуди коливань, які виникають при додаванні двох гармонічних коливань із близькими частотами, називаються биттям.

Нехай частоти двох гармонічних коливань, взятих з однаковими амплітудами А, відповідно дорівнюють і , причому . Початок відліку виберемо таким, щоб початкові фази обох коливань дорівнювали нулю:

 

(2.5)

 

Додавши ці гармонічні коливання, одержимо:

 

(2.6)

 

Рівняння (2.6) є добутком двох коливань. Так як , то співмножник, який стоїть у дужках, майже не змінюється в продовж часу доки співмножник cosωt здійснить кілька повних коливань. Тому результуюче коливання x можна розглядати як гармонічне з частотою ω, амплітуда А якого змінюється за наступним періодичним законом:

(2.7)

Період биття, або час повільної зміни амплітуди результуючого коливання, визначається періодичністю функції косинуса, тобто

 

,

звідки

(2.8)

 

Характер залежності x від t при битті показаний на рис. 7, де суцільні жирні лінії дають графік результуючого коливання (2.6), а пунктирна лінія — графік зміни амплітуди биття.

Явище биття широко використовується на практиці. Так за допомогою цього явища (виникнення биття між еталонним і вимірюваним коливаннями) визначаються частоти тону (звуку певної висоти). Биття застосовується для настроювання музикальних інструментів, аналізу слуху, тощо.

 

Рис.7

 

Будь-які складні періодичні коливання можна подати у вигляді суперпозиції багатьох гармонічних коливань з різними амплітудами, початковими фазами, а також частотами, кратними циклічній частоті :

 

(2.9)

 

Подання періодичної функції у вигляді (2.9) зв'язують з поняттям гармонічного аналізу складного періодичного коливання, або розкладання Фур'є. Члени ряду Фур'є (2.9), які визначають гармонічні коливання з частотами , , , ..., називаються першою (або основною), другою, третьою і т.д. гармоніками складного періодичного коливання.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.