Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Гармонічний осцилятор. Пружинний, фізичний і марематич-ний маятники



Гармонічним осцилятором називається система, яка описується рівнянням виду (1.6):

 

(1.16)

Коливання гармонічного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і служать точною або наближеною моделлю в багатьох задачах класичної і квантової фізики. Прикладами гармонічного осцилятора є пружинний, фізичний і математичний маятники, коливальний контур (для струмів і напруг настільки малих, щоб елементи контуру можна було вважати лінійними).

1. Пружинний маятник. Пружинний маятник — вантаж масою т, який підвішений на абсолютно пружній пружині і здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = - kx, де k - коефіцієнт пружності, у випадку пружини, названий жорсткістю. Рівняння коливання маятника буде мати вигляд

 

або

(1.17)

 

З виразів (1.16) і (1.1) випливає, що пружинний маятник виконує гармонічні коливання за законом з циклічною частотою і періодом

Формула (1.17) справедлива для пружних коливань у межах, для яких виконується закон Гука, тобто коли маса пружини мала в порівнянні з масою тіла.

Потенціальна енергія пружинного маятника, згідно (1.13) дорів-нює

 

2. Фізичний маятник. Фізичний маятник — тверде тіло, яке під дією сили тяжіння виконує гармонічні коливання відносно нерухо-мої горизонтальної осі абопідвісу, що не збігається з центром мас С тіла (рис. 4).

Якщо маятник відхилений від положення рівноваги на деякий кут , то відповідно до основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла момент Μ сили Fτ, яка повертає маятник до положення рівноваги буде дорівнювати

 

(1.18)

 

де J - момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через точку О, l — відстань між точкою підвісу і центром мас маятника, — сила, яка повертає маятник у попереднє положення, (знак мінус обумовлений тим, що зростання і швидкості завжди протилежні; sinα α відповідає малим коливанням маятника, тобто малим відхиленням маятника від положення рівноваги).

Рис. 4

 

Рівняння (18) можна записати у вигляді

 

або

 

Приймаючи, що одержимо рівняння ідентич-не з (1.16), розв’язком якого є функція:

 

(1.19)

 

З виразу (1.19) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник виконує гармонічні коливання з циклічною частотою і періодом

(1.20)

де — приведена довжина фізичного маятника.

Точка 0' на продовженні прямої 0С, якавідстоїть від осі підвісу на відстані приведеної довжини L, називається центром коливань фізичного маятника (див. рис. 4). Застосовуючи теорему Штейнера, можна показати, що 00' завжди більше 0С = l. Точка підвісу 0 и центр коливань 0' мають властивість взаємозамінності: якщо вісь підвісу перенести в центр коливань, то точка 0, в якійрозміщувалась раніше вісь підвісу стане новим центром коливань і період коливань фізичного маятника не зміниться.

3. Математичний маятник.Математичний маятник — ідеалізована система, яка складається з матеріальної точки масою т, підвішеної на нерозтяжній невагомій нитці, і коливається під дією сили тяжіння. Гарним наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, підвішений на тонкій довгій нитці. Момент інерції математичного маятника дорівнює

(1.21)

де l — довжина маятника.

Так як математичний маятник можна подати як окремий випадок фізичного маятника, припустивши, що вся маса фізичного маятника зосереджена в одній точці — центрі мас, то, підставивши вираз (1.21) у формулу (1.20), одержимо знайомий вираз для малих коливань математичного маятника:

(1.22)

 

Порівнюючи формули (1.22) і (1.20), бачимо, що якщо приведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині l математичного маятника, то їх періоди коливань однакові. Отже, приведена довжина фізичного маятника — це довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.