Краткие теоретические сведения. Гармоническим осциллятором называется идеальная колебательная система

Гармоническим осциллятором называется идеальная колебательная система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний

(1),

где S – произвольная колеблющаяся величина (смещение x, угол a, заряд конденсатора q в колебательном контуре и т.д.). Решением уравнения (1) является уравнение гармонического колебания, поэтому если закон движения (второй закон Ньютона) какой-либо колебательной системы можно свести к уравнению (1), то эта система колеблется гармонически по закону

(2),

где S_m – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний,

w₀ – циклическая частота (частота циклов) колебаний, связанная с частотой колебаний и периодом соотношением

n – частота колебаний – количество колебаний, совершаемых за единицу времени,

Т – период колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание (через которое все параметры колебательной системы возвращаются в исходное состояние),

j₀ – начальная фаза колебаний (в момент времени t=0), w₀t+j₀ – фаза колебаний в произвольный момент времени t.

Примерами гармонических осцилляторов являются пружинный, физический и математический маятники, идеальный колебательный контур. Мы рассмотрим один из этих примеров – математический маятник.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести в вертикальной плоскости.

Маятником, близким к математическому, может служить небольшой (по сравнению с длиной нити) тяжелый (по сравнению с массой нити) шарик, подвешенный на нити, растяжение которой можно считать бесконечно малым.

Если маятник вывести из положения равновесия, отклонив нить на угол a от вертикального положения, то возникнет вращательный момент силы тяжести, пытающийся вернуть маятник в положение равновесия (a=0). В соответствии с основным законом динамики (вторым законом Ньютона) для вращательного движения значение момента касательной составляющей силы тяжести, пытающейся вернуть маятник в положение равновесия будет равно (3),

где J – момент инерции шарика относительно оси вращения (качания) О, e - значение углового ускорения шарика. С другой стороны, значение момента возвращающей силы ( ) можно определить, умножив модуль этой силы на её плечо

(4),

где знак минус обусловлен тем, что возвращающая сила , стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, аналогична упругой силе и действует в направлении, противоположном угловому смещению a. Кроме того, мы приняли , что можно сделать для малых углов отклонения.

Приравнивая правые части выражений (3) и (4), получим

(5)

Если шарик мал по сравнению с длиной нити (т.е. является материальной точкой), то его момент инерции относительно оси О будет равен . Значит выражение (5) примет вид

(6)

Сравнивая (6) и (1) можно увидеть, что математический маятник совершает колебания по закону

(7)

с циклической частотой и периодом (8)

Согласно соотношению (8), зная длину маятника l (расстояние от точки подвеса до центра тяжести шарика) и период его колебаний Т в определенном месте земли, можно определить ускорение свободного падения g для этого места, по формуле (9)

Поиск по сайту: