К л а с и ф і к а ц і я с и л, щ о д і ю т ь н а м а т е р і-

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

„ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до лабораторних занять з курсу “Теоретична механіка ”

Для студентів спеціальностей ФТ-факультету

Комп’ютерний лабораторний практикум

Лабораторна робота 4

ДОСЛІДЖЕННЯ ПРЯМОЛІНІЙНИХ КОЛИВАНЬ МАТЕРІАЛЬНОЇ

ТОЧКИ

Затверджено

редакційно-видавничою

радою університету,

протокол № ____ від ____

Харків НТУ “ХПІ” 2012

Методичні вказівки до лабораторних занять з курсу “Теоретична механіка” для студентів спеціальностей ФТ-факультету. Комп’ютерний лабораторний практикум. Лабораторна робота 4 «Дослідження прямолінійних коливань матеріальної точки» // Укл. Д.В. Лавінський. – Харків: НТУ “ХПІ”, 2012. – с .

Укладач: Д.В. Лавінський

Рецензент В.М. Адашевський

Кафедра теоретичної механіки

Мета, об’єкт, предмет та методи досліджень:

Метою роботи є дослідження закономірностей механічних коливань матеріальної точки.

Об’єктом дослідженьє матеріальна точка, яка здійснює коливальний рух.Предметомє коливальний рух матеріальної точки.

Методи досліджень містять: аналітичне та комп’ютерне моделювання.

Теоретичний матеріал

Серед багатьох різноманітних видів руху, які можуть здійснювати матеріальні об’єкти, особливе місце займають таки, при яких матеріальні об’єкти через однакові проміжки часу займають одні та ти ж самі положення у просторі, або рух відбувається подібним чином. Такі види руху називають механічними коливаннями. Коливання настільки поширені у природі та в техніці, що вивчення їхніх закономірностей має самостійне значення. Різні по своїй фізичній природі коливальні явища мають однаковий математичний опис. Дослідження коливань матеріальної точки є прикладом вивчення загальних закономірностей коливань.

К л а с и ф і к а ц і я с и л, щ о д і ю т ь н а м а т е р і-

а л ь н у т о ч к у.Серед сил, діючих на матеріальну точку, особливе місце займають поновлюючи сили, що прагнуть повернути точку в положення рівноваги. Вони залежать від величини відхилення точки від положення рівноваги і направлені убік, протилежний відхиленню. Саме ці сили надають руху точки коливальний характер.

На рис. 1 наведено два приклади, в 1-му з яких поновлююча сила – це сила пружності деформованої пружини, а у 2-му – рівнодійна сили ваги і сили Архімеда ( ). В обох випадках початок відліку координати прийнято у положенні рівноваги тіла. Дані тіла рухаються поступально, тому рух кожного з них еквівалентний руху матеріальної точки.

а) б)

Рисунок 1. Приклади виникнення поновлюючих сил:

а) сила пружності; б) сила Архімеда

На рухомі тіла зазвичай діють ще й сили опору, які залежать від швидкості руху. Крім того, можуть також діяти збуджуючи сили, які будучи прикладеними до механічної системи , викликають її коливання.

Прямолінійні коливання матеріальної точки мають місце, коли траєкторією руху точки є пряма. Якщо при цьому поновлюючи сили є пропорційними величині відхилення точки від положення рівноваги, а сили опору – пропорційними швидкості точки, то коливання будуть лінійними (малими).

Д и ф е р е н ц і а л ь н е р і в н я н н я м а л и х п р я м о- л і н і й н и х к о л и в а н ь м а т е р і а л ь н о ї т о ч к и.Нехай на точку масою діє поновлююча сила , пропорційна відстані , а початкова швидкість точки направлена уздовж прямої або дорівнює нулю (рис. 2). Нехай на точку діє також сила опору, пропорційна швидкості цієї точки і направлена протилежно їй. Крім того, на точку діє гармонійна сила збудження, що направлена уздовж траєкторії точки. Якщо у даний момент часу точка рухається праворуч, то сили будуть спрямовані так, як показано на рис. 2. Запишемо рівняння руху точки у формі ІІ-го закону Ньютона:

. (1)

Рисунок 2. Розрахункова модель прямолінійних коливань матеріальної точки

Спроектуємо цю векторну рівність на вісь . Проекції сил набувають наступного вигляду: поновлююча сила – , де – коефіцієнт пропорційності, ; сила опору – , де – коефіцієнт в’язкості ; збуджуюча сила – , де – амплітуда збуджуючої сили , – її частота. Тоді одержимо наступне диференціальне рівняння руху точки

. (2)

Якщо розділити обидві частини цього рівняння на масу та ввести нові позначення, то одержимо рівняння у наступному вигляді:

, (3)

де – власна (кругова або циклічна) частота коливань; – коефіцієнт затухання; . Рівняння (3) – це диференціальне рівняння вимушених коливань точки за наявності в’язкого опору, з нього можна одержати більш прості диференціальні рівняння, які відповідатимуть окремим випадкам коливань.

Власні коливання(вільні коливання у середовищі без опору) –це коливання матеріальної точки, які відбуваються під дією лише поновлюючої сили. Такі коливання описують однорідним диференціальним рівнянням, яке можна отримати з рівняння (3), якщо покласти та

. (4)

Характеристичне рівняння диференціального рівняння власних коливань має чисто уявні корні, тому загальний розв’язок (4) запишемо у вигляді

, (5)

де і – постійні, що визначають з початкових умов

. (6)

В решті одержимо закон руху точки при власних коливаннях

, (7)

розв’язок якого можна перетворити до більш зручного вигляду, якщо ввести наступні позначення:

. (8)

. (9)

Таким чином, власні коливання матеріальної точки є гармонійними; – амплітуда коливань, – фаза коливань; – початкова фаза; власні коливання відбуваються з періодом . Частота і період гармонійних коливань залежать від маси точки і коефіцієнта пропорційності поновлюючої сили, але не залежать від початкових умов. Цю властивість вільних коливань називають ізохронністю. Амплітуда і початкова фаза залежать як від параметрів системи і , так й від початкових умов.

Власні коливання будуть відбуватися у системі, зображеної на рис. 3,б. Вантаж , який приймають за матеріальну точку, здійснює прямолінійні коливання уздовж вертикальної осі . На вантаж діють сила ваги і сила пружності , обумовлена наявністю пружини жорсткістю .

а) б)

Рисунок 3. Власні коливання матеріальної точки:

а) розрахункова модель власних коливань;

б) графік залежності від часу координати точки при власних коливаннях

Диференціальне рівняння руху вантажу має вигляд

. (10)

Якщо розглянути стан рівноваги, то можна встановити, що . Далі, виконуючи відповідні перетворення, одержимо диференційне рівняння подібне (4). Тобто, наявність сталої сили (в даному випадку – сили ваги) не впливає на характер коливального процесу, а призводить до зсуву центра коливань. Графік власних коливань наведено на рис. 3,а.

Затухаючі коливання(вільні коливання за наявності в’язкого опору)– цеокремий випадокруху матеріальної точки під дією поновлюючої сили і сили опору. Диференціальне рівняння такого руху одержуємо з виразу (3) при

. (11)

Його характеристичне рівняння має корені . Характер руху точки істотно залежить від співвідношення величин і . Розглянемо три можливі випадки цього співвідношення.

Рисунок 4. Графік залежності від часу координати точки при затухаючих коливаннях

В и п а д о к м а л о г о о п о р у. Мають місце затухаючі коливання( ), якіописують наступним рівнянням:

, (12)

де – умовна амплітуда; – частота затухаючих коливань; – початкова фаза затухаючих коливань, графік яких наведено на рис. 4. Затухаючі коливання не є періодичними, але проміжок часу між двома послідовними максимальними відхиленнями точки від положення рівноваги в одну й ту ж сторону залишається незмінним. Цю величину називають умовним періодом затухаючих коливань . Швидкість загасання коливань характеризують відношенням величин двох послідовних максимальних відхилень точки від положення рівноваги в одну й ту ж сторону. Це відношення називаютьдекрементом коливань . Натуральний логарифм цієї величини – так званий логарифмічний декремент коливань.

Рисунок 5. Графіки залежності від часу координати точки при

аперіодичному русі за різних початкових умов

В и п а д о к к р и т и ч н о г о о п о р у. Він має місце,коли , тобто корені характеристичного рівняння є дійсними числами, рівними та від’ємними, а загальний розв’язок диференціального рівняння прямолінійного руху має вигляд

. (13)

В и п а д о к в е л и к о г о о п о р у.Він має місце,коли , тобто корені характеристичного рівняння дійсні, різні та від’ємні, а загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

. (14)

У двох останніх випадках рух точки втрачає коливальний характер і стає аперіодичним. Залежно від величини і направлення початковій швидкості графік коливань має вид однієї з трьох кривих, приведених на рис. 5. Константи визначають, використовуючи початкові умови руху.

Вимушені коливання– це коливання, які здійснює матеріальна точка під дією поновлюючої сили, а також сил опору і збудження. Їх описують неоднорідним диференціальним рівнянням (3), яке має загальний розв’язок у вигляді

(15)

де – амплітуда вимушених коливань, – зрушення фаз. Аналізуючи формули (15), можна зробити висновок, що вимушені коливання є незатухаючими, а їхні частота та період дорівнюють частоті та періоду сили збудження. Амплітуда вимушених коливань залежить від власної частоти, частоти збуджуючої сили та від коефіцієнту затухання, а значить від коефіцієнту в’язкості . Для аналізу цієї залежності зручно провести деякі перетворення з другою формулою (15), якщо попередньо ввести наступні позначення: коефіцієнт розладу – , безрозмірний коефіцієнт в’язкості – , коефіцієнт динамічності – , де – статичне відхилення точки під дією сили, яка дорівнює амплітуді збуджуючої сили. Величина може бути визначена з розгляду рівноваги, звідки . Перейдемо у другій формулі (15) до коефіцієнту динамічності та одержимо, що

. (16)

Параметрична залежність коефіцієнту динамічності від коефіцієнту розладу та безрозмірного коефіцієнту в’язкості отримала назву амплітудно-частотної характеристики(АЧХ).На рис. 6 наведено криві АЧХ для різних значень безрозмірного коефіцієнта в’язкості . Так само можна перетворити й третю формулу (15) та одержати залежність зрушення фаз від коефіцієнта розладу та безрозмірного коефіцієнта в’язкості

. (17)

Криві залежності зрушення фаз від коефіцієнта розладу для різних значень коефіцієнта приведено на рис. 6. При зрушення фаз дорівнює при будь-яких значеннях , при подальшому зростанні зрушення фаз прагне до величини .

Рисунок 6. АЧХ при різних коефіцієнтах в’язкості

Диференціальне рівняння вимушених коливань у середовищі без опору одержимо з виразу (3) при

, (18)

а також коефіцієнт динамічності

. (19)

Резонанс – це явище значного зростання амплітуди коливань, яке виникає у разі збігу частоти збуджуючої сили та власної частоти коливань. Тоді при відсутності в’язкого опору закон резонансних коливань має вигляд

. (20)

Графік таких коливань приведено на рис. 7. Таким чином, при резонансі розмахи коливань зростають з часом необмежено, причому збільшення розмахів пропорційне часу.

Рисунок 7. Графік залежності від часу координати точки при резонансі за відсутності в’язкого опору

Биття – це явище періодичної зміни у часі амплітуди коливання, яке виникає при складанні двох гармонічних коливань із частотами, що відрізняються на малу величину. Биття виникають внаслідок того, що різниця фаз між двома коливаннями увесь час змінюється так, що обидва коливання опиняються у деякий момент часу у фазі, через деякий час у протифазі, потім знов у фазі і т.д. Відповідно амплітуда результуючого коливання періодично досягає то максимуму (він рівний сумі амплітуд коливань), то мінімуму (він рівний різниці цих амплітуд).

Рисунок 7. Графік залежності від часу координати точки при биттях

Вимушені коливання це фактично складання власних (або вільних) коливань із частотою та вимушених коливань із частотою збуджуючої сили . Позначимо амплітуду власних коливань А, амплітуду вимушених коливань А₁. Нехай частоти та відрізняються на досить малу величину Δω (для практики достатньо, щоб ). Тоді результуючі коливання, тобто биття, будуть здійснюватися за законом:

(21)
Результуюче коливання (21) можна вважати гармонійним із частотою , амплітуда якого змінюється за наступним періодичним законом:
(22)
Частота та період биттів дорівнюють відповідно:

, . (23)

Поиск по сайту: