Принцип Гюйгенса-Френеля

Дифракция света

Принцип Гюйгенса

Под дифракцией света понимают всякое отклонение света от прямолинейного распространения, если оно не может быть истолковано как результат отражения, преломления или изгибания световых лучей в средах с непрерывно меняющимся показателем преломления. Если в среде имеются мельчайшие частицы постороннего вещества или показатель преломления заметно меняется на расстояниях порядка длины волны, то говорят о рассеянии света и термин "дифракция" не употребляется. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Для наблюдения дифракции света необходимо создание специальных условий. Это обусловлено малостью длин световых волн.

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении интенсивности света в результате наложения волн. Перераспределение, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных источников, называют интерференцией. Перераспределение, возникающее вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, называют дифракцией.

Схема наблюдения дифракции такова: на пути световой волны помещают преграду. За преградой располагают экран, на котором наблюдают дифракционную картину. Различают два вида дифракции. Если источник света и точка наблюдения расположены настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие и идущие в точку наблюдения, образуют почти параллельные пучки, то говорят о дифракции Фраунгофера. В противном случае – о дифракции Френеля.

Всякая дифракционная задача, если ее рассматривать строго, сводится к решению уравнений Максвелла, при определенных граничных условиях. Однако такие задачи сложны. В оптике значительно большее значение имеют нестрогие методы решения дифракционных задач, основанные на принципе Гюйгенса, обобщенном Френелем.

Принцип Гюйгенса определяет способ построения фронта волны. Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых дошла волна в некоторый момент времени. Например, в случае излучения волн точечным источником в однородной среде, волновой фронт будет представлять собой сферу с центром в точке, совпадающей с положением источника света и радиусом, равным произведению скорости света в веществе на интервал времени после начала излучения. Аналогичным образом можно построить волновой фронт (фронт волны) для произвольного источника. В частности, волновым фронтом бесконечной плоскости будет плоскость тонкой бесконечной нити – коаксиальные цилиндры и так далее. В приведенных примерах говорят о сферических, плоских или цилиндрических волнах, имея в виду форму волнового фронта.

Распространение световых волн Гюйгенс объяснял так: каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн. Принцип Гюйгенса устанавливает способ, с помощью которого можно построить фронт волны в момент времени t+Dt, если известно положение фронта в момент времени t.

Пусть точечный источник света S излучает сферическую волну. Если в момент времени t волна дойдет до краев отверстия AB, то это отверстие вырежет из волнового фронта участок AБB. Если построить из каждой точки этого участка сферы радиусом c×Dt, то огибающая этих сфер будет указывать положение фронта волны в момент времени t+Dt (участок А₁Б₁В₁). Взяв этот фронт за исходный, можно построить новый волновой фронт – А₂Б₂В₂. Следует отметить, что подобную процедуру можно проводить и в отсутствие преграды. Принцип Гюйгенса не дает никаких указаний относительно интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях.

Итак, принцип Гюйгенса можно сформулировать следующим образом: каждая точка, до которой доходит волновое возмущение, служит центром вторичных волн. Огибающая этих волн указывает положение фронта волны в следующий момент времени. В таком виде принцип Гюйгенса есть не более чем геометрический способ построения волновых фронтов. Во всех применениях вторичные волны выступают не как реальные волны, а как вспомогательные сферы, используемые для такого построения. Остается неясным, почему при распространении волны не возникает обратная волна.

Принцип Гюйгенса-Френеля

Френель дополнил гипотезу Гюйгенса. Каждую точку, до которой дошла световая волна, можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях. Эти волны когерентны, поскольку все они возбуждаются одним и тем же первичным источником. Световое поле, возникающее в результате их интерференции, совпадает с полем реальных источников света. Принцип Гюйгенса, дополненный Френелем, получил название принципа Гюйгенса-Френеля. Следует отметить, что, опираясь на принцип Гюйгенса-Френеля, можно вычислить интенсивность волны в дифракционных задачах. Решение дифракционной, как и интерференционной, задачи заключается в расчете интенсивности в любой точке дифракционной картины.

Рассмотрим какой-либо экран с отверстием, через которое проходит свет от источника. Пусть источник точечный и монохроматический. Размеры отверстия много больше длины волны падающего света. Под Е будем понимать амплитуду одной из компонент вектора или электромагнитного поля волны. Задача состоит в определении амплитуды волны в любой точке Р за экраном. Предположим, что амплитуда колебаний в точках отверстия такова, какой она была бы, если бы экрана не было, а на экране равна нулю. При этом физические свойства экрана не учитываются. Существенна только форма края отверстия. Опыт показывает, что такое предположение справедливо, если размеры отверстия, расстояние от экрана до источника, а также от экрана до точки наблюдения велики по сравнению с длиной волны.

Разделим поверхность W отверстия на элементарные участки площадью dW, малые по сравнению с размерами отверстия, но большие по сравнению с длиной волны. Напряженность поля на некотором элементе dW этой поверхности будет

. (4.2.1)

При вычислении вклада в E_Р от участка dW нужно учесть изменение фазы и амплитуды вторичной волны при ее распространении. Это приводит к выражению

, (4.2.2)

где K(Q) – функция, учитывающая зависимость амплитуды вторичных волн от Q. Величина

(4.2.3)

является амплитудой вторичной волны в точке P.

Полное поле E_P в точке P будет представлять собой суперпозицию полей вторичных волн от всех элементов dW всей поверхности W

. (4.2.4)

Зоны Френеля

Вычисление интеграла (4.2.4) не всегда является простой задачей. В связи с этим используют различные приближенные методы. Наиболее простым и одновременно достаточно эфективным приближенным методом решения дифракционной задачи является метод зон Френеля.

Пусть сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, образует сферический волновой фронт радиусом r₀. Для приближенного вычисления интеграла (4.2.4) воспользуемся следующим приемом. Построим сферы в точке Р, радиусы которых r, r+l/2, r+2×(l/2), ... Они разобьют поверхность W на кольцевые области, называемые зонами Френеля. Построение зон выбрано таким образом, чтобы вторичные волны от границ двух соседних зон приходили в точку Р в противофазе.

Получим выражение для радиуса m-той зоны Френеля. Из рисунка на стр. 65 видно, что

; , (4.3.1)

где .

Раскроем скобки в уравнениях (4.3.1). Так как слагаемые, входящие в (4.3.1), подчиняются соотношениям и , то теми слагаемыми, которые содержат , можно пренебречь, т.е.

;

.

В силу малости длины волны слагаемыми, содержащими во втором уравнении, тоже можно пренебречь. В результате получим

; .

Откуда

.

Тогда радиус окружности, отделяющий m-тую зону от (m+1)-й, приближенно равен

или . (4.3.2)

Так как расстояние от соседних зон Френеля до точки наблюдения отличаются на l/2, то волны от них приходят в точку P в противофазе. Таким образом, интеграл (4.2.4) можно заменить суммой

, (4.3.3)

где – напряженности поля, создаваемые первой, второй, третьей и т.д. зонами Френеля. Можно также показать, что площади соседних зон Френеля примерно одинаковы. Однако, по мере увеличения номера зоны угол Q увеличивается. Это ведет к тому, что напряженность поля монотонно уменьшается, т.е.

Следовательно, в формуле (4.3.3) сумма двух любых слагаемых E_m и E_m+1 не равна нулю. Но для таких функций приближенно можно считать, что полусумма (m-1)-го и (m+1)-го слагаемого дает m-тое слагаемое в виде:

. (4.3.4)

Поиск по сайту: