Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Приклади розв’язання задач по визначенню швидкості точки



 

Задача 1. Точка М рухається по боковій грані призми уздовж прямої АВ зі швидкістю (рис. 4.4), а сама призма рухається прямолінійно по горизонтальній нерухомій площині за законом м. Визначити швидкість точки М щодо нерухомої площини в момент часу = 1 с, якщо задано и = 3 м/с; = 300.

Розв’язання. Розглянемо рух точки М щодо нерухомої горизонтальної площини як складний, вважаючи її рух уздовж призми відносним, а рух призми сумісно з точкою М – переносним рухом. Оскільки призма рухається поступально, то переносі швидкості всіх її точок будуть рівні , причому і при с м/с.

Будуючи на векторах та паралелограм (рис. 4.4), знайдемо абсолютну швидкість точки М (відносно нерухомої системи координат O1x1y1). За модулем

 

Рис. 4.4

 

м/с.

Відповідь: м/с.

 

Приклади розв’язання задач по визначенню прискорення точки

 

Задача 1. Візок (рис. 4.5,а) рухається прямолінійно по горизонтальній площині за законом см. У точці А до візка шарнірно прикріплений стержень АВ (АВ = l = 36 см), який при русі візка одночасно повертається у вертикальній площині за законом . Знайти абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки В стержня в момент часу =2 с.

Розв’язання. Розглянемо рух точки В як складний. Поступальний рух візка приймаємо за переносний рух. Рух точки В відносно візка (рух по дузі кола при обертанні стержня АВ навколо осі А)буде відносним.

Визначимо положення точки В в заданий момент часу. Приймаючи в рівнянні час 2 с, одержимо

.

це положення стержня показано на рис. 4.5,б.

Абсолютна швидкість знайдеться за формулою

.

Визначаємо відносну швидкість точки В стержня:

.

Для моменту часу = 2с, 9,42 см/с; вектор перпендикулярний стержню АВ і оскільки , то вектор спрямований у бік зростання кута .

Переносною швидкістю для точки В буде швидкість тієї точки простору, незмінно зв'язаного з візком, з якою у даний момент часу збігається точка В.

а) б)

Рис. 4.5

 

 

Визначаємо переносну швидкість

.

Для моменту часу = 2с = 3 см/с і оскільки > 0, то вектор спрямований у бік зростання відліку х1.

Тепер для положення механічної системи в момент часу = 2с (рис.4.5,б) будуємо на векторах та паралелограм і, визначивши, що кут між цими векторами дорівнює 1500, знаходимо абсолютну швидкість точки В:

= 6,98 см/с.

Абсолютне прискорення точки В визначимо за формулою (4.9):

.

Знаходимо числові значення характеристик відносного руху точки В: ; для моменту часу = 2с одержимо см/с2, см/с2. Оскільки , то вектор спрямований перпендикулярно АВ у бік, протилежний додатному відліку кута ; вектор спрямований по стержню до точки А (рис. 4.5,б).

Визначаємо числові значення характеристик переносного руху: см/с2 (знак показує, що вектор спрямований у бік додатного відліку відстані х1); , оскільки переносний рух (рух стержня сумісно з візком) прямолінійний. Отже, у даному випадку (рис.4.5, б).

Оскільки переносний рух у даному випадку є поступальним, то і, отже, .

У підсумку абсолютне прискорення точки М матиме вигляд

.

Для визначення модуля будуємо систему координат Вху (рис. 4.5, б) і спроектуємо обидві частини рівняння на ці осі. Одержимо:

см/с2;

см/с2.

Тоді

см/с2.

Відповідь: 6,98 см/с, см/с2.

Задача 2. Прямокутна пластинка ABDE (рис. 4.6) обертається навколо нерухомої осі О1z1за законом .

По пластинці уздовж прямої AD, яка утворює з віссю обертання кут , рухається точка М за законом м. Знайти абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точки М в момент часу = 1 с для положення пластини на рис. 4.6, коли її сторона АВ паралельна осі О1х.

Розв’язання. Розглянемо рух точки М як складний, вважаючи обертання пластини навколо осі О1z1 переносним рухом, а рух точки М по пластині уздовж прямої AD відносним рухом.

Визначимо положення точки М в момент часу . З рівняння відносного руху одержимо = 1,5м. Зображуємо на кресленні точку М1,відкладаючи відстань . Точку М1 на пластині приймаємо як полюс рухомої системи координат М1xyz, осі якої відповідно до умови задачі є паралельними відповідним осям системи координат .

Абсолютна швидкість точки М знайдеться за формулою

.

 

Рис. 4.6

 

Визначаємо відносну швидкість точки М

.

Для моменту часу = 1с, = м/с. Оскільки , то вектор спрямований у бік, протилежний позитивному відліку відстані , і належить прямій AD.

Переносною швидкістю точки М в момент часу t1буде швидкість точки пластини при її обертанні навколо осі z1 з якою в момент часу співпадає точка М:

,

де - кутова швидкість пластини при відстань від точки М1до осі обертання.

Знаходимо і при t1 = lс, рад.с-1. Оскільки , то дугова стрілка збігається з напрямом додатного відліку кута . Визначаємо = 0,75 м.

Далі знаходимо 1,5 м/с. Вектор буде спрямований перпендикулярно площині пластини у бік її обертання, тобто у бік дугової стрілки (рис. 4.6), і лежати на осі .

Знаходимо відповідно до формули (4.1) і, враховуючи, що в даному випадку та взаємно перпендикулярні, у момент часу t1= 1 с, одержимо

м/с.

Зображуємо вектор на схемі руху пластини (рис. 4.6).

Абсолютне прискорення точки М визначимо за формулою (4.9):

.

Визначаємо числове значення і напрям кожного вектора, зазначеного в правій частині цього рівняння.

Знаходимо спочатку характеристики відносного руху точки М: і при t1= 1с, м/с2 (вектор лежить на прямій AD і спрямований у бік додатного відліку відстані ); (тут , оскільки траєкторія відносного руху точки М прямолінійна).

Переходимо до визначення переносних складових прискорення. Переносним рухом для точки М є обертання пластини, її кінематичні характеристики в момент часу t1: рад.с-1, а і при с, рад.с-2 (знак указує, що протилежно напряму додатного відліку кута ).

Тоді = 3 м/с2, м/с2. Вектор , спрямований перпендикулярно площині пластини у бік дугової стрілки лежить на осі , вектор спрямований від точки М1до осі її обертання і лежить на осі .

Визначаємо коріолісове прискорення. Модуль його знаходимо за формулою

,

де кут між векторами і . У нашому випадку (рис. 4.6), і, підставивши значення величин у формулу, одержимо 2,72 м/с2.

Напрям знайдемо за правилом Жуковського: спроектуємо вектор на площину , перпендикулярну осі обертання пластини (ця проекція вектора буде спрямована так само, як і вектор ), і потім повернемо цю проекцію у бік переносного обертання (тобто по напряму дугової стрілки )на 900.

Для визначення модуля вектора абсолютного прискорення спроектуємо на осі системи координат обидві частини векторного рівняння для . Одержимо

м/с2;

м/с2;

м/с2.

Тоді за величиною

м/с2.

Відповідь: 2,02 м/с, 6,38 м/с2.

Задача 3. Кривошип О1А кривошипно-кулисного механізму (рис. 4.7, а) обертається навколо нерухомої точки О1. Кінець А кривошипа з'єднаний шарнірно з повзуном, що переміщується в прорізі куліси О2В и визиває її обертальний рух навколо нерухомої точки О2.

Визначити для зображеного на рис. 4.7,а положення механізму кутову швидкість ікутове прискорення куліси, а також швидкість і прискорення повзуна А відносно куліси, якщо відомо, що кривошип довжиною 20 см обертається з постійною кутовою швидкістю = 2 рад.с-1 і кут .

а) б) в)

Рис. 4.7

 

Розв’язання. Визначаємо швидкість і прискорення точки А як такої, що належить кривошипу О1А:

см/с; , оскільки ,

і отже,

см/с2.

Вектор спрямований перпендикулярно О1А у напрямі дугової стрілки , а вектор спрямований уздовж АО1(рис. 4.7, а) від точки А до точки О1.

Розкладемо рух повзуна А на складові відносного і переносного рухів. Рух точки А по дузі кола з центром О1і радіусом О1А є абсолютним. Однак цей рух можна представити як складний, прийнявши обертальний рух куліси BO2сумісно з повзуном за переносний рух, а рух повзуна уздовж прорізу куліси – за відносний.

Застосуємо далі для повзуна теорему про додавання швидкостей (рис. 4.7,б):

.

Тут відносна швидкість повзуна спрямована уздовж куліси, а переносна швидкість – перпендикулярно кулісі ВО2(як швидкість точки А тіла, що обертається сумісно з кулісою навколо точки О2).

Тоді з прямокутника швидкостей (рис. 4.7,б) знайдемо

см/с; см/с.

Тепер з формули , обчисливши попередньо см, одержимо кутову швидкість куліси:

рад.с-1.

Відповідно до напряму вектора кутова швидкість буде спрямована за ходом годинникової стрілки.

Визначимо і . Для цього будуємо рухому систему координат Аху (рис. 4.7,в), вісь Ах якої спрямуємо перпендикулярно кулисі. Застосовуємо для якої повзуна теорему про додавання прискорень повзуна:

.

Абсолютне прискорення повзуна (рис. 4.7,а) нами вже визначена. Будуємо його на рис. 4.7,в. Розглянемо далі вектори правої частини цього рівняння.

Оскільки відносний рух точки А (уздовж куліси) прямолінійний, то для повзуна отримаємо . Вектор направимо уздовж осі Ау, наприклад, у бік її від’ємного напряму, (рис. 4.7,в), його величина невідома.

Зображуємо далі на кресленні вектор , припускаючи, наприклад, що він спрямований у той же бік, що і .Вектор спрямований уздовж AO2, співпадає з віссю Ау і чисельно дорівнює см/с2.

Напрям вектора знайдемо за правилом Жуковського: оскільки вектор вже лежить у площині, перпендикулярній осі обертання куліси, то повернемо його навколо точки А на 900 у напрямі дугової стрілки , тобто за ходом годинникової стрілки. Модуль коріолісового прискорення визначимо за формулою

см/с2.

Отже, у величин, що входять у рівняння для , невідомі числові значення тільки і . їх можна знайти, спроектувавши обидві частини рівняння для на осі Ах і Ау.

Тоді одержимо відповідно

Підставивши в рівняння числові значення величин, знайдемо = -30 см/с2, = -34,68 см/с2. Знаки вказують, що дійсні напрями і протилежні зображеним на рис. 4.7, в.

Тепер з формули визначимо кутове прискорення куліси

рад.с-2.

Відповідь: = 0,5 рад.с-1, = 0,867 рад.с-2, = 34,6 см/с, = 30 см/с.

 

4.6. Питання для самостійної роботи

1. У якому випадку говорять про складний рух точки?

2. Як знайти абсолютну швидкість точки при її складному русі?

3. Як знайти абсолютне прискорення точки при її складному русі?

4. Як визначити і що характеризує відносне прискорення точки при її складному русі?

5. Як визначити і що характеризує переносне прискорення точки при її складному русі?

6. Як визначити і що характеризує коріолісове прискорення точки при її складному русі?

7. Як визначити напрям коріолісова прискорення за загальним правилом векторного добутку?

8. Як визначити напрям коріолісова прискорення за правилом Жуковського?

9. У яких випадках коріолісове прискорення дорівнює нулю?

10. Дайте визначення абсолютному, відносному та переносному рухам точки?

11. Як зв’язані між собою абсолютна і відносна похідні від вектора за часом?
список літератури

1. Бать М.И., Джанилидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 1. – М.: Наука, 1984. – 504 c.

2. Бугаєнко Г.О. Курс теоретичної механіки. – К.: Вища школа, 1968. – 409 с.

3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т. 1. – М.: Наука, 1985. – 240 с.

4. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. – М.: Наука, 1967. – 468 с.

5. Воронков И.М. Курс теоретической механики. – М.: Наука, 1966. – 596 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – М.: Наука, 1966. – 300 с.

7. Гернет М.М. Курс теоретической механики. – М: Высш. шк., 1981. – 303 с.

8. Глонь О.А. Основы теоретической механики. - К.: ВКЦ «Софія», 1997. – 144 с.

9. Добронравов В.В., Никитин Н.Н., дворников А.Л. Курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1974. – 528 с.

10. Кильчевский Н.А., Ремизова Н.И., Кильчевская Е.Н. Основы теоретической механики. – К.: Вища школа, 1986. – 296 с.

11. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. Т. 1. – М.: Наука, 1977. – 456 с.

12. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 1. – М.: Наука, 1984. – 352 с.

13. Павловский М.А. Теоретична механіка. – К.: Техніка, 2002. – 512 с.

14. Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. Ч. 1. - К.: Вища школа, 1985. – 351 с.

15. Попов М.В. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1986. – 335 с.

16. Савин Г.Н., Путята Т.В., Фрадлин Б.Н. Курс теоретической механи- ки. – К.: Вища школа, 1973. – 359 с.

17. Старжинский В.М. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1980. – 464 с.

18. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высш. шк., 2001. – 416 с.

19. Теоретична механіка: Навч. пос. для технічних вузів. Л.Г.Романенко, В.Г.Солодов. – Харків: ХДАДТУ, 2000. – 268 с.

20. Турбін Б.І. Теоретична механіка. – К.: Держсільгоспвидав. УРСР, 1962. – 373 с.

21. Шпачук В.П., Золотов М.С., Рубаненко О.І., Гарбуз А.О. Теоретична механіка: Навчально-методичний посібник для студентів технічних спеціальностей і завдання для контрольних робіт студентів факультету післядипломної освіти. – Харків: ХДАМГ, 2001. – 124 с.

22. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Ч. 1. – М.: Высш. шк., 1984. – 344 с.

 


Зміст

    стор.
  Вступ в кінематику ...........................................................................
1. Кінематика точки ..............................................................................
  1.1. Способи завдання руху точки ...................................................
  1.2. Визначення швидкості та прискорення точки ........................
  1.3. Приклади розв’язання задач .....................................................
  1.4. Питання для самостійної роботи ..............................................
2. Поступальний і обертальний рухи твердого тіла ..........................
  2.1. Поступальний рух твердого тіла ..............................................
  2.2. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі .........
  2.3. Перетворення обертального руху відносно однієї осі в обертальний рух відносно іншої осі .........................................  
  2.4. Приклади розв’язання задач .....................................................
  2.5. Питання для самостійної роботи ..............................................
3. Плоскопаралельний рух твердого тіла ............................................
  3.1. Рівняння та характеристики плоскопаралельного руху тіла .
  3.2. Визначення швидкостей точок плоскої фігури .......................
  3.3. Визначення прискорень точок плоскої фігури .......................
  3.4. Приклади розв’язання задач по визначенню швидкостей точок тіла ....................................................................................  
  3.5. Приклади розв’язання задач по визначенню прискорень точок тіла ....................................................................................  
  3.6. Питання для самостійної роботи ..............................................
4. Складний рух точки ..........................................................................
  4.1. Відносний, переносний і абсолютний рухи ............................
  4.2. Теорема про додавання швидкостей ........................................
  4.3. Теорема про додавання прискорень (теорема Коріоліса) ......
  4.4. Приклади розв’язання по визначенню швидкості точки .......  
  4.5. Приклади розв’язання задач по визначенню прискорення точки ............................................................................................
  4.6. Питання для самостійної роботи ..............................................
  Список літератури .............................................................................

 

 

Навчальне видання

 

Теоретична механіка.

Кінематика

 

 

Конспект лекцій

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.