Приклади розв’язання задач по визначенню прискорень

Точок тіла

Задача 1. Механізм (рис. 3.13) складається із стержнів 1,2 іповзуна В, з'єднаних один з одним і з нерухомою опорою О шарнірами. Стержень 1 обертається навколо точки О за законом рад. У момент часу t₁= 1 с механізм займає положення, зображене на рис. 3.13: кути , a кут ÐOAB = 120⁰.

Визначити для цього положення механізму швидкість і прискорення повзуна , а також кутову швидкість і кутове прискорення стержня 2, якщо довжини стержнів =2 м, = 4 м.

Розв’язання.Знаходимо кутову швидкість і кутове прискорення стержня 1 як функції часу . Тоді для моменту часу t₁ = 1с одержимо рад. с^-1, рад. с^-2. Відповідно до знаків цих величин зображуємо їх на рис. 3.13 дуговими стрілками: проти ходу годинникової стрілки, - за ходом годинникової стрілки.

Визначимо швидкість точки А , розглядаючи обертальний рух стержня 1:

м/с, .

Кутову швидкість стержня 2, а також швидкість його точки В визначимо методом МЦШ. Для цього будуємо МЦШ стержня 2, відновлюючи перпендикуляри в точках А і В до і лінії швидкості точки В повзуна, яка співпадає з віссю напрямних останнього. Точка Р₂ перетину перпендикулярів і буде МЦШ стержня 2.

З рис. 3.13 слідує, що всі кути трикутника АР₂В дорівнюють 60⁰, а трикутник є рівнобічним, тому отримаємо м, а також

рад. с^-1, м/с.

Рис. 3.13

Прискорення точки А, яка належить стержню 1, щоздійснює обертання навколо точки О, представимо як (3.10)

,

де числові значення

м/с²; м/с².

Тут вектор спрямований уздовж АО від точки А до точки О,а перпендикулярний АО і спрямований у напряму дугової стрілки .

Оскільки точка В цього стержня одночасно належить і повзуну, що рухається у напрямних прямолінійно, то вектор належить осі напрямним повзуна. Зображуємо вектор на схемі, припускаючи, що він спрямований у той же бік, що і .

Для визначення прискорення приймемо точку А як полюс і скористаємося формулою (3.10)

.

Зображуємо на схемі вектор (уздовж відрізка ВА від точки В до точки А)і знаходимо його числове значення (3.11)

м/с².

Числове значення , відповідно до (3.11), могло б бути визначено як , але у даному випадку кутове прискорення невідомо. Для вектора можемо вказати на кресленні його напрям (припустивши, що спрямовано проти ходу годинникової стрілки. Зображуємо цей вектор перпендикулярно АВ у відповідний бік.

Отже, з величин, що входять для , невідомі тільки числові значення двох величин а_В і .Їх можна знайти, спроектувавши векторне рівняння на будь-які дві осі.

Щоб визначити а_В, спроектуємо спочатку обидві частини рівняння на вісь Вх:

.

Підставивши у рівняння числові значення усіх величи, знайдемо а_В = -1,34 м/с². Оскільки а_В < 0, то, вектор буде насправді спрямованим протилежно зображеному на рис. 3.13.

Визначаємо далі кутове прискорення стержня 2. Щоб знайти , варто спочатку визначити . Для цього обидві частини рівняння спроектуємо на напрям вісь В :

.

Підставивши в рівняння числові значення усіх величин, знайдемо = 2,43 м/с². Оскільки одержали > 0,то дійсний напрям вектора збігається з тим, що передбачалося при розрахунку.

Тепер з рівності одержимо рад.с^-2. Напрям буде проти ходу годинникової стрілки. Показуємо його на схемі.

Відповідь: = 1 м/с, = 0,25рад.с^-1, а_в = -1,34 м/с² (знак указує, що напрям а_в насправді протилежний показаному на рис. 3.13), = 0,61 рад.с^-2.

Задача 2. Механізм (рис. 3.14,а) складається із стержнів 1, 2, 3, з'єднаних один з одним і з нерухомими опорами О₁і O₂шарнірами. Довжини стержнів =2 м, = 4 м, = 1,25 м. У момент часу, коли , і ÐO₁AB = 120⁰, для стержня 1 відомі величини і напрями кутової швидкості і кутового прискорення: рад.с^-1, рад.с^-2. Для даного положення механізму визначити швидкість і прискорення точки В, кутові швидкості та кутові прискорення стержнів 2 і 3.

Розв’язання. Визначення і цілком збігаються з тим, що виконано при розв’язанні задачі 1:

м/с, , рад.с^-1,

м/с.

Оскільки стержень 3 здійснює обертальний рух навколо осі O₂, то

рад.с^-1.

Визначаємо прискорення точки В. Точка В рухається по колу радіуса О₂В, тому напрям прискорення заздалегідь невідомий.

У цьому випадку вектор варто представити як суму двох його складових і . Прийнявши для стержня 2 точку А за полюс, одержимо

.

а) б)

Рис. 3.14

Для векторів, зазначених у правій частині цього рівняння отримаємо

м/с²; м/с²;

м/с²,

напрями цих векторів показано на рис. 3.14, а.

Вектори лівої частини рівняння визначаються для точки В, яка належить стержню 3, що робить обертальний рух навколо точку О₂. Вектор буде спрямований уздовж ВО₂ від точки В до точки О₂ і чисельно

м/с².

Невідомий вектор направимо перпендикулярно стержню 3 у бік, за ходом годинникової стрілки.

Отже, з величин, що входять у векторне рівняння, невідомі тільки числові значення і , які можна знайти, спроектувавши обидві частини рівняння на вісь Вх:

.

Підставивши числові значення усіх величин, знайдемо = -1,8 м/с². Знак мінус указує, що напрям в дійсності єпротилежним зображеному на рис. 3.14,а.

Тепер обчислюємо величину прискорення

= 1,97 м/с².

Визначаємо кутове прискорення стержня 2, спроектувавши обидві частини рівняння на напрям осі одержимо

.

Підставивши числові значення величин, знайдемо = 3,36 м/с². Оскільки > О, то фактично вектор спрямований, як показано на рис. 3.14,а.

Тепер, користуючись формулою = , одержимо рад.с^-2, напрям проти ходу годинникової стрілки. Показуємо його на рис. 3.14,а.

Визначаємо кутове прискорення стержня 3. Стержень 3 (рис. 3.14,б)здійснює обертальний рух навколо точки О₂.З рівняння = одержимо рад.с^-2, напрям - проти ходу годинникової стрілки. Показуємо його на рис. 3.14,б.

Відповідь: = 1 м/с, = 0,25рад.с^-1, = 0,8рад.с^-1, а_в = 1,97 м/с², = 0,84 рад.с^-2, = 1,44 рад.с^-2.

3.6. Питання для самостійної роботи

1. З яких рухів складається плоскопаралельний рух твердого тіла?

2. Що є основними кінематичними характеристиками плоскопаралель-ного руху твердого тіла?

3. Які кінематичні характеристики плоскопаралельного руху твердого тіла залежать / не залежать від вибору полюса?

4. Що називається миттєвим центром швидкостей?

5. Як розподілені швидкості точок плоскої фігури відносно МЦШ?

6. Скільки миттєвих центрів швидкостей може мати плоска фігура у певний момент часу?

7. Чи можлива ситуація, коли плоска фігура не має у певний момент часу миттєвого центра швидкостей?

8. Як можна побудувати миттєвий центр швидкостей у загальному випадку. Яка інформація потрібна для цієї побудови?

9. У якому випадку рух плоскої фігури називають миттєво поступальним?

10. Де знаходиться МЦШ для колеса, що котиться без ковзання по нерухомій поверхні?

11. Як визначається швидкість точки плоскої фігури?

12. Як визначається прискорення точки плоскої фігури?

СКЛАДНИЙ РУХ ТОЧКИ

Поиск по сайту: