Визначення прискорень точок плоскої фігури

Прискорення будь-якої точки М плоскої фігури геометрично складається з прискорення будь-якої точки А, прийнятої за полюс, і прискорення, що точка М одержує при обертанні фігури навколо цього полюса, тобто

, (3.8)

, (3.9)

де кутова швидкість і кутове прискорення фігури.

При розв’язанні задач зручніше вектори в правій частині рівняння (3.8) представити як суми дотичних і нормальних складових. Тоді отримаємо

, (3.10)

де дотичне і нормальне прискорення точки А; , - дотична і нормальна складова прискорення точки М в її обертанні сумісно з тілом навколо полюса А.

При цьому модулі векторів і ,як прискорення точки тіла, що обертається, визначаються відповідно до формул (2.11):

. (3.11)

Тут вектор спрямований перпендикулярно МА у бік дугової стрілки , а вектор спрямований від точки М до полюсу А.

Якщо точка М рухається криволінійно, то вектор в лівій частині рівності (3.10) треба замінити сумою складових за напрямом координатних осей: .

Подальші особливості використання рівняння (3.10) розглянемо при розв’язанні конкретних задач.

Приклади розв’язання задач по визначенню швидкостей точок

Тіла

Задача 1.Колесо радіуса котиться по нерухомій поверхні без ковзання (рис. 3.9, а).Знайти швидкість точок К і D колеса, якщо відомі швидкість центра С колеса та відстань КС = b і кут .

Розв’язання. Розглянутий рух колеса за визначенням є плоскопаралельним. Прийнявши точку С за полюс (оскільки її швидкість відома) відповідно до загального рівняння (3.2) для точки К матимемо

, де , .

а) б) в)

Рис. 3.9

Для визначення кутової швидкості розглянемо лінійну швидкість точки Р дотику колеса з нерухомою поверхнею (рис. 3.9,б).Для цієї точки можна записати рівняння

, де , .

Особливістю точки Р є те, що в даний момент часу її швидкість , оскільки колесо котиться без ковзання. Тоді отримане рівняння дає вираз

.

Звідси випливає наступне: 1) швидкості і повинні бути спрямовані в протилежні сторони; 2) з рівності модулів одержуємо , звідси знайдемо величину . Відповідно до напряму вектора визначаємо напрям і зображуємо його на кресленні.

Тепер повертаємося до визначення V_k. Знаходимо . Знаючи напрям кутової швидкості , виконуємо побудову прямокутника на векторах і (рис. 3.9,в). Остаточно знаходимо

.

Швидкість точки D на ободі колеса визначимо за формулою (3.7), враховуючи, що точка Р дотику колеса і поверхні є його МЦШ:

, .

Задача 2.Повзуни А і В з'єднані стержнем з шарнірами на кінцях, переміщуються по взаємно перпендикулярних напрямних (рис. 3.10,а).Визначити при даному куті швидкість точки В, якщо відома швидкість .

а) б)

Рис. 3.10

Розв’язання. Проведемо вісь Ах через точки А і В. Знаючи напрям , знаходимо проекцію цього вектора на цю вісь: V_Aх = V_A cos (на рис. 3.10,б це буде відрізок Aа).Далі на схемі від точки В відкладаємо відрізок Вb = Аа і, відновлюючи в точці b перпендикуляр до осі Ах, знаходимо точку С його перетину з віссю вертикальних напрямних, яка і буде визначати кінець невідомого вектора швидкості точки В.

Відповідно до теореми про проекції швидкостей: V_A cos = V_В cos . Звідси остаточно визначимо (врахувавши, що ) або .

Задача 3. Плоский механізм складається із стержнів 1, 2, 3,4 іповзуна В (рис. 3.11), з'єднаних один з одним і з нерухомими опорами в точках О₁ і О₂шарнірами; точка D знаходиться всередині стержня АВ. Довжини стержнів: l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 0,7 м, l₄ = 0,3 м. Кутова швидкість стержня 1 у заданому положенні механізму 2 рад. с^-1і спрямована проти ходу годинникової стрілки. Визначити .

Розв’язання. У розглянутому механізмі стержні 1, 4 здійснюють обертальний рух відповідно навколо точок О₁ і О₂, повзун В – поступальний в своїх напрямних, а стержні 2, 3 – плоскопаралельний рух.

Швидкість точки А визначимо як приналежну стержню 1, який здійснює обертальний рух:

м/с, .

Розглянемо рух стержня 2. Швидкість його точки А визначена, а напрям швидкості точки В співпадає з віссю напрямних, це обумовлено тим, що вона належить одночасно стержню 2 і повзуну, що рухається уздовж напрямних. Далі, відновлюючи з точок А і В перпендикуляри до і напряму швидкості повзуна В, знаходимо положення точки Р₂– МЦШ стержня 2.

За напрямом вектора визначаємо напрям дугової стрілки кутової швидкості стержня 2 і знаходимо її числову величину

= 1,04 м (одержимо при розгляді DАР₂В),

рад. с^-1.

Рис. 3.11

Тепер визначаємо числові значення і напрями швидкостей точок В і D стержня 2 (з урахуванням, що рівнобічний і BР₂= =0,6 м, а DР₂ = = 0,6м):

м/с; ;

м/с; .

Розглянемо далі рух стержня 3. Швидкість точки D відома. Оскільки точка Е належить одночасно і стержню 4, щообертається навколо точки О₂, то лінія дії швидкості буде перпендикулярною . Тоді, відновлюючи в точках D і Е перпендикуляри до швидкості і лінії дії швидкості , знаходимо положення точки Р₃ – МЦШ стержня 3. За напрямом вектора визначаємо напрям дугової стрілки кутової швидкості стержня 3. Її чисельну величину знаходимо (попередньо визначивши з прямокутного відрізок 0,35 м) так:

рад. с^-1.

Далі, обчисливши = 0,605 м, визначаємо швидкість м/с; . За напрям дугової стрілки визначаємо напрям вектора швидкості .

Розглянемо тепер рух стержня 4, щообертається навколо точки О₂. Знаючи напрям і чисельну величину , знаходимо напрям і величину кутової швидкості : рад. с^-1.

Відповідь: м/с, м/с, м/с, рад.с^-1; рад. с^-1; рад. с^-1, напрями цих величин показано на рис. 3.11.

Задача 4. Плоский механізм складається із стержнів 1,2, 3 ікатка, що котиться без ковзання по нерухомій поверхні (рис. 3.12,а).З'єднання стержнів між собою і стержня 3 з катком в точці D – шарнірні. Довжини стержнів: = 0,4 м, = 0,6 м, = 0,8 м. При кутах = 60⁰, = 30⁰, відомих величинах і напрямах кутової швидкості = 2 рад. с^-1 і швидкості центра О катка = 0,346 м/с, ÐABD = 90⁰визначити швидкість точки В і кутову швидкість стержня 2.

Розв’язання. Аналіз принципу дії механізму показує наступне: стержень 1 виконує обертальний навколо точки О₁ рух; стержні 2, 3, а також каток – плоскопаралельні рухи.

Розглядаючи рух стержня 1, знаходимо напрям і величину швидкості точки A: м/с; . Напрям вектора швидкості визначаємо за напрямом дугової стрілки .

Розглянемо далі рух катка. Його миттєвий центр швидкостей розташований в точці Р дотику катка і поверхні,тоді V_d знайдемо як

.

Оскільки у трикутнику DDOP за визначенням, кут 30⁰, то . Тоді швидкість м/с. При цьому вектор спрямований перпендикулярно DP у бік дугової стрілки стержня 1.

а)

Рис. 3.12

Тому що точка В механізму належить одночасно стержням АВ і BD, то за теоремою про проекції швидкостей повинно виконуватись: 1) проекція вектора на вісь Ах дорівнює проекції на цю вісь вектора (відрізок Аа на рис. 3.12, а), тобто = 0,4 м/с; 2) проекція вектора на вісь Dy дорівнює проекції на цю вісь вектора (відрізок Dd на рис. 3.12,а), тобто = 0,3 м/с ( 60⁰ за побудовою).

Далі вирішуємо задачу графічно. Відкладаємо від точки В у відповідних напрямах відрізки Вb₁ = Аа і Bb₂ = Dd. Відновлюємо з точки b₁перпендикуляр до Вb₁, а з точки b₂– перпендикуляр до Вb₂.Точка перетину цих перпендикулярів визначає кінець шуканого вектора .

Оскільки відрізкі Вb₁і Вb₂у даному випадку взаємно перпендикулярні, то

м/с.

Визначаємо . На рис. 3.12,бграфічно зображено векторну рівність:

,

де вектори і визначені, а за напрямом вектор перпендикулярний стержню АВ. Зі схеми (рис. 3.12, б) знаходимо

м/с.

Кінцево рад. с^-1(напрям дугової стрілкі , враховуючи напрям швидкості - проти ходу годинникової стрілки).

Відповідь: =0,5 м/с; = 1,66 рад. с^-1.

Поиск по сайту: