Проведемо через вісь обертання Az тіла (рис. 2.2) дві півплощини: півплощину П, незмінно зв'язану з тілом і обертову разом з ним, та нерухому в просторі півплощину П0. Тоді положення тіла в будь-який момент часу визначається узятим з відповідним знаком кутом між цими півплощинами, що називається кутом повороту тіла. Кут вважається додатним, якщо він відлічений від нерухомої півплощини в напряму проти ходу годинникової стрілки (для спостерігача, що дивиться з позитивного кінця осі Az),і від’ємним, якщо він відлічений за ходом годинникової стрілки. Виміряється кут у радіанах: рад.
Щоб знати положення тіла в будь-який момент часу, треба знати залежність кута від часу t, тобто
. (2.3)
Рівняння (2.3) виражає закон обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі.
Основними кінематичними характеристиками обертального руху твердого тіла є його кутова швидкість і кутове прискорення .
Кутова швидкість характеризує зміну з часом кута повороту тіла, а її числове (алгебраїчне) значення дорівнює першій похідній від кута повороту за часом:
або . (2.4)
Знак визначає напрям обертання: якщо > 0, то обертання відбувається проти ходу годинниковій стрілки, якщо < 0, то тіло обертається за ходом годинникової стрілки. Ця обставина відбивається і зображенням величини за допомогою дугової стрілки (рис. 2.2). Розмірність кутової швидкості – рад/с.
У техніці кутову швидкість часто визначають числом обертів за хвилину, зазначаючи цю величину через п об/хв. Оскільки за один оберт тіло повертається на кут рад, а 1 хв = 60 с, то
.
Усі параметри кутової швидкості тіла можна відобразити у вигляді вектора , модуль якого дорівнює і який спрямований уздовж осі обертання у той бік, відкіля видно, що обертання відбувається проти ходу годинниковій стрілки (рис. 2.2; 2.3).
Кутове прискорення характеризує зміну з часом кутової швидкості тіла, а його числове (алгебраїчне) значення дорівнює першій похідній від кутової швидкості або другій похідній від кута повороту тіла за часом:
. (2.5)
Розмірність кутового прискорення 1- рад/с2.
а) б)
Рис. 2.3
При збіжності знаків і їх дугові стрілки спрямовані однаково (рис. 2.3,а),при різних знаках – дугові стрілки будуть спрямовані взаємно протилежно (рис. 2.3,б).Кутове прискорення тіла можна зобразити у вигляді вектора , спрямованого уздовж осі обертання. При цьому
. (2.6)
Коли тіло обертається прискорено, то величини і мають однакові знаки і напрям вектора збігається з напрямом вектора (рис. 2.3,а). Коли тіло обертається уповільнено, то величини і мають різні знаки і вектори і спрямовані уздовж осі обертання в протилежні боки (рис. 2.3,б).
Якщо кутова швидкість тіла залишається за весь час руху постійною ( = const), то обертання тіла називається рівномірним.
Інтегруючи рівність (вважаючи при цьому, що в початковий момент часу ), одержимо закон рівномірного обертання:
. (2.7)
Якщо кутове прискорення тіла за весь час руху залишається постійним ( = const), то обертання називається рівнозмінним.
Інтегруючи рівність (вважаючи при цьому, що в початковий момент часу ), одержимо:
. (2.8)
Представляючи цей вираз як або у вигляді і вдруге інтегруючи, знайдемо закон рівнозмінного обертання: