Натуральний спосіб завдання руху точки

КІНЕМАТИКА ТОЧКИ

Способи завдання руху точки

Для завдання руху точки в просторі можна застосовувати один з трьох способів: векторний, координатний та натуральний.

Векторний спосіб завдання руху точки

Положення точки М, що рухається відносно системи відліку Oxyz, можна визначити, задаючи її радіус-вектор , проведений з початку координат О в дану точку М (рис. 1.1). При русі точки М її радіус-вектор буде з плином часу змінюватися за модулем, і напрямом, тобто буде вектором-функцією:

. (1.1)

Рис. 1.1

Рівність (1.1) визначає положення точки М у просторі, а отже, закон її руху у векторній формі.

Неперервна лінія, яку описує точка, що рухається, відносно даної системи відліку, називається траєкторією точки. Якщо траєкторією точки є пряма лінія, рух точки називається прямолінійним, а якщо крива – криволінійним.

При векторному способі завдання руху траєкторією точки є геометричне місце кінців її радіуса-вектора (годографа цього вектора).

Координатний спосіб завдання руху точки

Положення точки в просторі можна визначити також її декартовими координатами х, у, z, які під час руху точки будуть змінюватися з плином часу.

Отже рівняння руху точки в будь-який момент часу має вигляд

(1.2)

Функціональні залежності (1.2) є рівняннями руху (законом руху) точки в прямокутних декартових координатах. Зазначимо, що задати рух точки можна й іншими системами координат, наприклад, полярними, сферичними і т.д.

Рівняння руху (1.2) можна розглядати як рівняння траєкторії точки в параметричній формі, де параметром є час t. Вилучивши з рівнянь руху час , можна визначити рівняння траєкторії в звичайній координатній формі, тобто у вигляді залежності між координатами точки.

Перехід від координатного способу завдання руху точки до векторного, і навпаки, може бути здійснений у такий спосіб.

Задаючи одиничні вектори (орти) координатних осей і позначаючи проекції радіуса-вектора на ці осі (рис. 1.1), одержимо для вектора вираз

. (1.3)

Приклад. Нехай рух точки в площині Оху задано рівняннями

(1.4)

За цих рівнянь можна визначити, що в момент часу точка знаходиться в положенні (0, 0), а у момент часу с – у положенні (2; 1,5) і т.д. Даючи часу t різні значення і зображуючи відповідні положення точок, можемо побудувати її траєкторію (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Іншим шляхом траєкторію можна знайти, вилучивши t з рівнянь (1.4). З першого рівняння знаходимо і, підставляючи це значення t у друге рівняння, одержуємо у = (3/8)х². Отже, точка рухається по дузі параболи, вершина якої розташована на початку координат. Траєкторією руху буде тільки права вітка параболи (оскільки при буде ).

Натуральний спосіб завдання руху точки

Цей спосіб завдання руху може бути застосований, якщо заздалегідь відома траєкторія руху точки (наприклад, заздалегідь відома траєкторія, залізничного вагона, що рухається по рейках, і т.д.). Нехай крива АВ є траєкторією точки М щодо системи відліку Oxyz (рис. 1.3). Зазначимо на траєкторії нерухому точку О', яку приймемо за початок відліку дугової координати s, і домовимося про напрями додатного і від’ємного відліку координати s.

Отже, на рис. 1.3 координата s для точок, що знаходяться на траєкторії праворуч початку відліку О',буде вважатися додатною, ліворуч О' – від’ємною.

Рис. 1.3

Тоді, щоб визначити положення точки в будь-який момент часу, треба знати залежність дугової координати від часу:

. (1.4)

Рівняння (1.4) описує закон руху точки М уздовж траєкторії. Зазначимо, що величина s у рівнянні (1.4) визначає положення точки на лінії її руху, через відстань від точки О до точки М, вимірювану уздовж дуги траєкторії і взяту з відповідним знаком, а не пройдений точкою, що рухається, шлях.

Поиск по сайту: