МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

№ 41. ВИЗНАЧЕННЯ ЛОГАРИФМІЧНОГО ДЕКРЕМЕНТА ЗАТУХАННЯ КОЛИВАНЬ МАЯТНИКА

Мета. Визначити логарифмічний декремент і коефіцієнт затухання коливань маятника.

Прилади і обладнання:маятник, секундомір, повітряний заспокоювач.

Теоретичні відомості

Добре відомо, що амплітуда вільних коливань всякої реальної коливної системи зменшується з часом, тобто коливання будуть затухаючими. Розглянемо затухаючі коливання маятника (Рис. І).

Рис 1

На маятник в точці В буде діяти вага і сила натягу , напрямлені під кутом одна до одної. Рівнодійна цих сил:

,

повертає маятник в положення рівноваги (точку А) і напрямлена в протилежну сторону до зміщення Х. Кут відхилення , виміряний в радіанах, чисельно дорівнює . Тоді:

Для малих кутів:

тому

Порівнюючи цю формулу з формулою закону Гука:

бачимо, що результуюча сила F, яка діє на маятник є квазіупружною силою з коефіцієнтом:

Крім сили F на маятник діє сила опору середовища, пропорційна швидкості:

,

де

Повна сила, що діє на маятник:

Згідно з другим законом Ньютона:

,

де .

Тоді рівняння руху запишеться так:

. (1)

Якщо поділити обидві сторони рівняння (1) на m і позначити:

,

то одержимо:

. (2)

Величина β називається коефіцієнтом затухання, а ω₀ – частотою власних коливань. Введемо нову змінну z зв’язану з змінною х співвідношенням:

(3)

.

Знайдемо першу і другу похідні:

Після підстановки цих значень в рівняння (2) одержимо:

або

Позначимо:

,

і одержимо:

(4)

Розв’язком цього рівняння буде:

(5)

де – частота затухаючих коливань (Т – період)

– фаза коливань, α – початкова фаза.

Якщо підставити рівняння (5) в рівняння (3), то одержимо рівняння коливання маятника:

. (6)

Величина називається амплітудою затухаючих коливань. З рисунка 2 видно, що вона зменшується з часом по експоненціальному закону.

А₀ – початкова амплітуда, або максимальне відхилення від положення рівноваги. х=А₀ в момент часу t=0.

х

Крива І показує залежність , крива ІІ – залежність .

Логарифм відношення двох послідовних амплітуд, що відрізняються на час, рівний періоду Т, називається логарифмічним декрементом затухання λ.

тобто . (6)

Коефіцієнт затухання: (7)

Щоб дослідним шляхом знайти β, беруть:

Якщо визначити час t, за який амплітуда коливань зменшиться вдвоє, то матимемо:

. (8)

Число коливань за час t позначимо n, тоді:

(9)

Формули (8) і (9) є робочими формулами.

Хід роботи

1. Відхилити маятник від положення рівноваги на А₀=18 – 20 см. Відпустивши маятник, одночасно ввімкнути секундомір, і відрахувати число повних коливань n поки амплітуда зменшиться вдвічі. По секундоміру визначити необхідний для цього час t.

2. Дослід повторити три рази.

3. Визначити період коливань .

4. По формулах (8) і (9) визначити величини β і λ.

5. Прикріпити до маятника повітряний заспокоювач і проробити все, що вказано в пункті 1.

6. Повторити дослід тричі. Підрахувати β₁ і λ₁.

7. Дані всіх вимірювань і обчислень занести в таблицю.

Записати кінцеві результати.

Контрольні запитання

1. Формула сили, що повертає маятник в положення рівноваги.

2. Закон Гука.

3. Формула сили опору в’язкого середовища.

4. Диференціальне рівняння затухаючих коливань маятника.

5. Розв’язок рівняння затухаючих коливань.

6. Формула амплітуди затухаючих коливань.

7. Логарифмічний декремент затухання.

8. Формула для визначення коефіцієнта затухання коливань маятника.

9.Формула для визначення логарифмічного декремента затухання.

№ 42. ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ ЗВУКУ В ПОВІТРІ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСУ

Мета:ознайомитись з методом визначення швидкості звуку в повітрі та визначити дану швидкість.

Прилади і обладнання: Джерело звуку – генератор звукової частоти типу Г3 – 34, труба з поршнем, динамічний гучномовець, термометр, лінійка.

Теоретичні відомості

Звук – це пружні хвилі, які поширюються в повітрі або іншому пружному середовищі і мають частоти від 16 гц до 20000 гц. В повітрі звук поширюється у вигляді поздовжніх хвиль з швидкістю:

(1)

де k – модуль об’ємної пружності, ρ – густина повітря. Досліди показують, що швидкість поширення звуку не залежить від частоти, але певним чином залежить від температури (V~ ).

Довжина звукової хвилі λ, період коливань Т (або частота ν) і швидкість звуку V зв’язані між собою залежністю:

(2)

Звідси видно, що для визначення швидкості звуку V необхідно знати частоту коливань ν і довжину звукової хвилі λ. Якщо використати джерело звуку відомої частоти, то для визначення швидкості звуку необхідно знати лише довжину хвилі. Джерелом звуку в даній роботі служить гучномовець, який живиться від звукового генератора Г3–34. Частота коливань відраховується по шкалі генератора.

Для визначення довжини звукової хвилі використовується явище резонансу. Якщо перед вузькою трубкою з поршнем (рис.1) помістити джерело звуку – динамічний гучномовець, то при плавній

Рис. 1

зміні довжини повітряного стовпа будуть спостерігатися періодичні зміни сили звуку. Пояснюється це тим, що в повітряному стовпі, який служив резонатором, підсилення звуку (резонанс) спостерігається лише в тому випадку, коли частота власних коливань резонаторна співпадає з частотою коливань гучномовця, звукова хвиля поширюється вздовж труби і відбивається від поршня, змінюючи при цьому фазу на протилежну. Біжуча і відбита хвилі

складаються і утворюють стоячу хвилю, причому, поблизу відкритого кінця труби, де частки рухаються найбільш вільно утворюється пучність, а біля поршня – вузол зміщень часток повітря. Неважко бачити, що таким граничним умовам задовольняють довжини хвиль λ, зв’язані з довжиною повітряного стовпа слідуючи ми співвідношеннями.

(3)

Відстань між сусідніми вузлами, або сусідніми пучностями стоячої хвилі, як видно з рис. 2, рівна половині довжини біжучої хвилі:

(4)

Рис. 2

Для визначення швидкості звуку V₀ при температурі 0⁰ С користуються формулою:

, (5)

де t – температура, V – швидкість звуку при даній температурі. Підставивши в формулу (5) значення швидкості з формули (2) і значення довжини хвилі з формули (4), одержимо:

, (6)

формула (6) є робочою формулою.

Ознайомлення з правилами користування генератором Г3 – 34 проводиться під керівництвом викладача.

Поиск по сайту: