Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты. Пусть начальная фаза первого колебания равна нулю φ₀₁ = 0, а второго φ₀₂ ≠ 0:

Найдем уравнение траектории колеблющейся материальной точки, т.е. функцию :

а) если разность фаз равна нулю , то

- уравнение прямой, т.е. траектория точки – отрезок прямой в I и III квадратах (рисунок 3.4 а);

б) если разность фаз , то - аналогичная траектория, но расположенная во II и IV квадратах (рисунок 3.4 а – пунктирная прямая).

в) Если разность фаз , то

Решая уравнения

получаем:

- уравнение эллипса (рисунок 3.4 б) причем точка движется по часовой стрелке.

При разности фаз находим, что

Решая систему уравнений

получаем

- уравнение эллипса (рисунок 3.4б), но точка движется против часовой стрелки.

Если амплитуды по х и y равны А = В, то точка движется по окружности.

г) В общем случае произвольной разности фаз траектория также представляет собой эллипс, но с повернутыми осями и в зависимости от разности фаз наклон эллипса и направление движения точки разное (рисунок 3.4 в, г)

При сложении взаимно перпендикулярных гармонических колебаний не одинаковых частот, траектория результирующего движения имеет довольно сложный вид.

Замкнутые траектории, описываемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

Форма фигур Лиссажу зависит от отношения частот складываемых колебаний и разности фаз между ними (рисунок 3.5).

Примеры решения задач

Пример 1. Методом векторных диаграмм сложить два колебания одного направления: и . А₁ = А₂ = 3 см; ω₁ = ω₂ = π, τ = 0,5 с.

Решение:

Представим законы смещения x₁(t) и х₂(t) соответственно данным задачи:

На оси ох из точки О построим вектор , равный амплитуде А₁ = 3 ∙ 10^{-2 м при начальной фазе φ}₀₁ = 0. Из этой же точки О проведем вектор , по модулю равный амплитуде А₂ под углом .

По правилу сложения векторов (правило параллелограмма) строим вектор . Модуль (по теореме Пифагора).

Начальная фаза результирующего колебания из прямоугольного треугольника

; ;

Следовательно, результирующее колебание совершается по закону

Ответ:

Пример 2. Методом векторных диаграмм сложить два колебания одного направления: и

Решение:

От точки О на оси ох отложены два вектора и , модули которых А = 3 м, А = 8 м под углами к оси ох, равными начальным фазам колебаний и .

По формуле косинуса определяем модуль вектора результирующего колебания, построенного как векторная сумма

Начальную фазу колебания φ определяем из формулы

;

Так как частота результирующего колебания равна частотам слагаемых колебаний, то получаем следующий результат:

Ответ: .

Пример 3. Методом векторных диаграмм сложить два колебания одного направления: и .

Решение:

От точки О на оси ох отложим два вектора и , модули которых А₁ = 6 м; А₂ = 8 м под углами к оси ох равными начальным фазам складываемых колебаний и .

Так как векторы и при построении составили между собой угол , то по теореме Пифагора амплитуда результирующего колебания

.

Начальная фаза результирующего колебания может быть найдена или по формуле

или по рисунку

;

Результирующее колебание совершается по закону

.

Ответ: .

Пример 4. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями и . Определить уравнение траектории и указать направление движения точки.

Решение:

Представим уравнения в виде: , , возведя левые и правые части уравнений в квадрат и сложив их, получаем уравнение траектории:

- уравнение эллипса.

Для определения направления движения зададим два условия:

при t = 0 получим х = 0; y = 4; при получаем х = 6; y = 0. Следовательно, движение точки по часовой стрелке.

Поиск по сайту: