1. Заряд q на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени t по закону . Записать закон зависимости силы тока от времени i(t). Найти период и частоту колебаний в контуре, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока i(t).
Решение:
Чтобы записать закон зависимости силы тока от времени, надо, прежде всего, воспользоваться соотношением. Получим:
Сравнивая полученное выражение с формулой, нетрудно записать по аналогии, что:
Далее, учитывая связь периода колебаний Т с круговой частотой w по формуле: , найдем значение периода колебаний Т:
; .
Затем, воспользовавшись связью круговой частоты w с линейной n, определим частоту:
или ; ; .
Амплитудные значения колебаний силы тока J и заряда q найдем из сравнения заданной зависимости q(t) и полученной зависимости i(t) с формулами.
Получим: ; ; .
2. В колебательном контуре совершаются незатухающие электромагнитные колебания. Определить силу тока в контуре при t = 0,002 с от начала отсчета, если заряд конденсатора изменяется по гармоническому закону:
Найдем уравнение гармонического колебания силы тока в колебательном контуре, а затем вычислим мгновенное значение силы тока i при t = 0,002 с:
;
При t = 0,002 с получим:
; .
3. В колебательном контуре происходят незатухающие электромагнитные колебания. Определить максимальную силу тока в контуре, если емкость конденсатора С = 210-5 Ф, индуктивность катушки L = 5 Гн и заряд конденсатора меняется по закону .
В данной задаче для определения амплитудного значения силы тока J0 удобнее воспользоваться законом сохранения энергии, записав его в виде:
Энергию электрического поля выразили через электрический заряд, воспользовавшись соотношением:
Откуда: и .
Получим следующее выражение:
Максимальное значение заряда q0 найдем из заданного уравнения q(t), сравнив его с формулой.
Получим: .
Окончательно вычисляем максимальное значение силы тока:
.
4. Колебательный контур приемника состоит из слюдяного конденсатора, площадь пластин S которого 800 см2, а расстояние d между ними 1 мм, и катушки. На какую длину волны резонирует этот контур, если максимальное значение напряжения на пластинах конденсатора в 100 раз больше максимального значения силы тока в катушке? Активным сопротивлением контура пренебречь.
Дано:
e = 7
S = 810-6 м2
d = 110-3 м
= 100
e0 = 8.8510-12
Найти:
l - ?
Длина волны l связана с периодом Т колебаний по формуле: ,
где: v - скорость электромагнитных волн в данной среде;
В вакууме она равна - м/с.
Период собственных колебаний определяется по формуле : .
Электроемкость конденсатора С можно вычислить, воспользовавшись данными задачи по формуле: .
Для нахождения индуктивности L катушки надо воспользоваться законом сохранения энергии в применении к заданному контуру:
; Откуда: .
Решая задачу в общем виде, окончательно получим:
; .
5. Колебательный контур состоит из конденсатора емкости 2,510-2 мкФ и катушки с индуктивностью 101,510-2 Гн. Пластинам конденсатора сообщают заряд 2,5 мкКл. Найти значение силы тока i в контуре в тот момент, когда напряжение на пластинах конденсатора равно 70,7 В. Активным сопротивлением цепи пренебречь.
Дано:
С = 2,510-8 Ф
L = 101,510-2 Гн
q = 2,510-6 Кл
U = 70,7 В
Найти:
i - ?
Для успешного решения задачи надо первоначально написать уравнения изменения напряжения на пластинах конденсатора U(t) и силы тока i(t).
Пусть начальный момент времени соответствует максимальному заряду q0 на пластинах конденсатора и закон изменения заряда со временем будет: .
Тогда с учетом соотношения: можно утверждать, что при t = 0 напряжение на пластинах также будет иметь максимальное значение. В этом случае уравнение U(t) записывается в виде: , где: ; Um = 100 В.
Для написания уравнения i(t) учтем, что .
Отсюда получим: , где: - амплитудное значение тока.
Круговую частоту w можно вычислить через период колебаний Т по формуле: .
Учитывая формулу Томсона, окончательно получаем:
; .
Отсюда: максимальная сила тока будет равна:
.
Вычислим значения напряжения на пластинах конденсатора и силы тока:
; .
Уравнение изменения напряжения на пластинах конденсатора позволит вычислить нужный момент времени:
или . Откуда t = 12,510-5 с.
Осталось вычислить силу тока i в момент времени t, воспользовавшись уравнением изменения силы тока: