· Логарифмический декремент затухания и добротность контура при слабом затухании:
, .
· Критическое сопротивление:
.
· Установившиеся вынужденные колебания при последовательном включении в контур напряжения :
,
где
, .
· Индуктивное сопротивление:
.
· Емкостное сопротивление:
.
· Реактивное сопротивление:
.
· Импеданс цепи:
.
· Среднее значение мощности:
.
· Действующие значения тока и напряжения:
, .
Задачи
1В контуре совершаются свободные затухающие колебания, при которых напряжение на конденсаторе меняется во времени по закону . Найти моменты времени, когда модуль напряжения на конденсаторе достигает амплитудных значений и максимальных (экстремальных) значений.
2 В контуре с емкостью и индуктивностью происходят затухающие колебания, при которых ток меняется во времени по закону . Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени и в момент .
3 Найти частоту затухающих колебаний контура, показанного на рисунке 5. Емкость конденсатора . Активное сопротивление . Индуктивность катушки . Выяснить, при каком соотношении между , и колебания возможны.
4На рисунке 6 показана простейшая схема сглаживающего фильтра. На вход подают напряжение . Найти зависимость выходного напряжения от времени, а также значение величины , при котором амплитуда переменной составляющей напряжения на выходе будет в =7 раз меньше постоянной составляющей, если =314 рад/с.
5Найти добротность колебательного контура, в который последовательно включен источник переменной ЭДС, если при резонансе напряжение на конденсаторе в раз превышает напряжение на источнике.
6Колебательный контур состоит из катушки индуктивности =0,2 Гн и конденсатора емкостью Ф. Конденсатор в начальный момент зарядили до напряжения =4 В. Какими будут ток, напряжение и заряд в моменты времени, когда отношение энергии электрического и магнитного поля равны 0 и 1/2?
7Определить силу тока в соленоиде с индуктивностью =0,6 Гн и сопротивлением =4 Ом, если к нему приложено переменное напряжение , причем =60 В, а частота =20 Гц. При каком значении мощности, выделяемые в цепи постоянного и переменного тока, будут равны?
8Небольшой шарик массы =21 г, подвешенный на нерастяжимой изолирующей нити на высоте =12 см от большой горизонтальной проводящей плоскости, совершает малые колебания. После того, как ему сообщили некоторый заряд, период колебаний изменился в =2 раза. Найти этот заряд.
9Катушка индуктивностью =0,1 Гн с активным сопротивлением =25 Ом включена в сеть переменного тока с частотой =50 Гц. Определить силу тока в катушке, если напряжение на ее вводах =120 В.
10 В колебательном контуре, показанном на рисунке 7, индуктивность катушки , а емкости конденсаторов и . Конденсаторы зарядили до напряжения и замкнули ключ К. Найти: а) период собственных колебаний; б) амплитудное значение тока через катушку.
11Электрическая цепь, показанная на рисунке 8, имеет пренебрежимо малое активное сопротивление. Левый конденсатор зарядили до напряжения и затем – в момент − замкнули ключ К. Найти зависимость от времени напряжений на левом и правом конденсаторах.
12Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах и равны между собой. Найти частоту, при которой амплитуда смещения максимальна.
13Колебательный контур имеет емкость , индуктивность и активное сопротивление . Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в раз?
14В контуре, добротность которого и частота колебаний , возбуждаются затухающие колебания. Через сколько времени энергия, запасенная в контуре уменьшится в раза?
15Контур состоит из последовательно соединенных конденсатора емкости и катушки с индуктивностью и активным сопротивлением . Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока. (3.128)
16Некоторый колебательный контур содержит соединенные последовательно конденсатор емкости , катушку с индуктивностью и активным сопротивлением , а также ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, после чего ключ замкнули, и начались колебания. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в момент непосредственно после замыкания ключа.
17Какую среднюю мощность должен потреблять колебательный контур с активным сопротивлением , чтобы в нем поддерживались незатухающие гармонические колебания с амплитудой тока ?
18Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью уменьшиться в раза, если частота колебаний .
19Конденсатор емкости , пространство между обкладками которого заполнено слабо проводящей средой с активным сопротивлением , подключили к источнику напряжения в момент времени . Найти установившийся ток в цепи как функцию времени .
20Цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью и сопротивления , подключили к источнику напряжения в момент времени . Найти установившийся ток в цепи как функцию времени .
21Катушку с активным сопротивлением и индуктивностью подключили к источнику напряжения в момент времени . Найти установившийся ток в катушке как функцию времени .
· − некоторая величина, совершающая колебания при распространении волны, например, смещение, давление и т.д.
· − амплитуда волны.
· − волновое число.
· − скорость волны.
· − объемная плотность энергии волны.
· − длина волны.
· − групповая скорость.
· − объемная плотность среды.
· − модуль Юнга.
· − механическое напряжение.
· − вектор Умова.
Основные формулы:
· Уравнение плоской волны:
.
· Волновое число:
.
· Волновое уравнение:
.
· Фазовая скорость волны:
.
· Групповая скорость волны:
.
· Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:
.
· Фазовая скорость поперечных волн в струне:
.
· Частоты возможных колебаний струны:
,
где − сила натяжения струны, − площадь поперечного сечения струны, − длина струны.
· Скорость звука в газе:
,
где − показатель адиабаты газа, − молярная масса газа, − абсолютная температура, − универсальная газовая постоянная.
· Объемная плотность энергии упругой волны:
, .
· Плотность потока энергии (вектор Умова) для бегущей гармонической волны:
, .
· Уравнение стоячей гармонической волны:
.
Задачи
1Какую длину должна иметь стальная струна ( =7700 кг/м3) радиусом 0,05 см, чтобы при натяжении 500 Н она издавала тон частотой 320 Гц?
2Найти частоту основного тона струны, натянутой силой Н. Длина струны − 0,8 м, а ее масса − 0,3 кг.
3Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура равен 1,2 с. амплитуда – 2 см. Определить: длину волны; фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии 45 м от источника волн с момент с; разность фаз двух точек, лежащих на луче на расстоянии 20 и 30 м от источника волн.
4На расстоянии 4 м от источника плоской волны частотой 440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояние от источника волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны. Скорость волны 400 м/с.
5В незатухающей бегущей волне задана точка М, отстоящая от источника колебаний на расстоянии в направлении распространения волны. Амплитуда колебаний равна 0,05 м. Считая в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимальным, определить смещение от положения равновесия точки М для момента , а также разность фаз колеблющихся точек М и Р.
6Медный стержень длиной 0,5 м закреплен в середине. Найти частоты возможных собственных продольных колебаний стержня. ( Н/м2, =8900 кг/м3)
7Медный стержень длиной 50 см закреплен на краях. Найти возможные частоты продольных собственных колебаний стержня в диапазоне частот от 20 до 50 кГц.
8Смешение от положения равновесия некоторой точки, лежащей на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент времени равно половине амплитуды. Найти максимальную длину бегущей волны.
9Звуковая волна имеет частоту 500 Гц, амплитуду 0,25 мм и волновое число м-1. Найти скорость волны и максимальную скорость частиц среды.
10Уравнение колебаний источника имеет вид м. Найти смещение среды на расстоянии 75 см от источника через 0,01 с после начала колебаний. Скорость волны 300 м/с.
11От источника, расположенного у поверхности Земли, распространяются звуковые волны. Через какой промежуток времени они достигнут высоты 10 км, если температура воздуха у поверхности Земли 16 0С, а градиент температуры в атмосфере К/м ( =0,029 кг/моль, =8,31 Дж/(моль К), =1,4).
12Уравнение плоской звуковой волны имеет вид , где − в микрометрах, − в секундах, в метрах. Найти: а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны; б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны.
13Плоская волна с частотой распространяется так, что некоторая фаза колебаний перемещается вдоль осей со скоростями . Найти волновой вектор , если орты осей координат .
14Найти отношение частот основного тона двух одинаковых струн после того, как одну из них упруго растянули на , а другую − на .
15Как и во сколько раз изменится частота основного тона натянутой струны, если ее длину уменьшить на 35%, а силу натяжения увеличить на 70%?
16Найти число возможных собственных колебаний столба воздуха в трубе, частоты которых меньше , если: а) труба открыта с одного конца; б) труба открыта с обоих концов. Длина трубы . Скорость звука . Считать, что открытые концы трубы являются пучностями смещения.
17В точке однородной среды находится точечный изотропный источник звука мощностью . Найти среднюю по времени энергию упругих волн в области, ограниченной сферой радиуса с центром в точке , если скорость волн и их затухание пренебрежимо мало.
18Струна массы закреплена с обоих концов. В ней возбудили колебания основного тона с частотой и максимальной амплитудой смещения . Найти: а) максимальную кинетическую энергию струны; б) среднюю за период кинетическую энергию струны.
19Стальная струна длины и диаметра натянута между полюсами электромагнита. При пропускании по струне переменного тока частоты на ней установилось полуволн. Найти силу натяжения струны.
20Найти зависимость между групповой и фазовой скоростями для следующих законов дисперсии: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) , где и − некоторые постоянные, а − скорость света в вакууме.