Бегущей волной называется волна, переносящая энергию в пространстве в некотором направлении. Уравнением бегущей волны является зависимость смещения х колеблющейся частицы среды в некоторый момент времени от ее координаты ℓ.
Пусть в некоторой точке О упругой среды находится колебательная система, совершающая гармонические колебания по закону х = Acosωt (рисунок 5.5). Некоторая частица среды в точке С, удаленной от источника колебаний О на расстояние ℓ1 на луче волны будет запаздывать по времени на величину
τ = ℓ1/υ,
где υ - скорость распространения фазы волны - фазовая скорость, м/с.
Тогда уравнение гармонического колебания частицы С запишется в виде:
(5.4)
Учитывая, что ω = 2πν, частота колебаний ν = 1/Т, a υT = λ - длина волны, выражение (5.4) можно записать в виде:
(5.5)
где - волновое число, м-1;
А - амплитуда волны, м;
ω – циклическая частота, с-1;
(ωt kℓ1)- фаза волны в некоторый момент времени t;
Т - период колебаний, с.
Выражение (5.5) является уравнением плоской гармонической волны. Уравнение плоской волны можно записать также в комплексной форме, основываясь на формуле Эйлера
, (5.6)
где - мнимая единица:
(5.7)
Уравнение сферической волны имеет вид:
(5.8)
где r - расстояние от центра волны (точечного источника), до рассматриваемой точки среды, м;
A0 - амплитуда источника, м.
В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний убывает с расстоянием по закону .
Волновое уравнение
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением. Волновым является дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных вида:
(5.9)
где S - физическая величина, характеризующая возмущение, распространяющееся в пространстве;
- оператор Лапласа;
υ - скорость распространения фазы волны, м/с.
Энергия волны
Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает кинетической энергией колеблющихся частиц Wk и потенциальной энергией деформации среды Wn.
Так как энергия источника гармонических колебаний меняется по гармоническому закону (таблица 2.4), то и кинетическая энергия всех частиц среды Wn меняется по гармоническому закону:
(5.10)
где р - плотность упругой среды, кг/м3;
А - амплитуда волны, м;
ω - циклическая частота, с-1 ;
V - часть объема упругой среды, в которой распространяется волна, м3.
Из-за разности смещений в один и тот же момент времени t частиц среды, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии, потенциальная энергия деформации среды в объеме V тоже меняется по гармоническому закону, причем, в одинаковой фазе с кинетической энергией частиц в этом объеме:
(5.11)
где Е - модуль Юнга, Н/м2;
υ - скорость распространения волны, м/с.
Учитывая, что по (5. 1)
,
можно записать:
(5.12)
Полная энергия части объема V упругой среды:
(5.13)
Так как каждый элемент объема среды связан с окружающей средой, и энергия из одного участка может переходить в другой, то полная энергия отдельного участка среды не остается постоянной. Для среды протяженных размеров имеет смысл величина объемной плотности энергии w, то есть величина энергии единицы объема среды:
(5.14)
Среднее значение величины w за период Т равно:
(5.15)
а максимальное:
(при ) (5.16)
Скорость переноса энергии волной равна скорости перемещения в пространстве волновой поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности w энергии волны. Потоком энергии Ф через некоторую площадку S среды называется отношение энергии W, переносимой через эту площадку за малый промежуток времени t, к величине промежутка времени t:
(5.17)
Количество энергии, переносимой за единицу времени t через единичную площадку S называется плотностью потока энергии U:
(5.18)
Пусть энергия W элементарного объема V = Sυt (рисунок 5.6) переносится волной со скоростью υ. Тогда плотность потока энергии с учетом (5.4.5) равна:
(5.19)
Так как - величина векторная, то:
(5.20)
где - вектор плотности потока энергии, или вектор Умова, Дж/с∙м2 .
Иначе:
(5.21)
т.е. вектор Умова имеет физический смысл потока энергии через некоторую площадку. Скалярная величина I, равная модулю среднего значения вектора Умова, называется интенсивностью волны:
(5.22)
Так как по (5.15) , то
(5.23)
то есть интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды волны.
При распространении волны в изотропной среде за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются равные объемы среды, поэтому интенсивность и амплитуда волны по мере распространения не изменяются, если только в среде не происходит преобразование энергии колебаний в другие виды энергии, т.е. поглощение.
В сплошной среде поглощение упругих волн обусловлено внутренним трением и теплопроводностью. В такой среде амплитуда и интенсивность волн меняются по экспоненциальному закону:
(5.24)
(5.25)
где α - линейный коэффициент поглощения, зависящий от свойств среды и частоты волны, м-1 ;
A0 - амплитуда источника, м;
I0 – интенсивность источника, Вт/м2;
ℓ - расстояние, на которое распространяется волна, м.