Кинематика материальной точки. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Методические указания по решению задач

Омск 2004

Составители: Н.В. Бердинская

В.О. Нижникова

С.С. Ясько

Рассматриваются теоретические вопросы разделов кинематики и динамики поступательного и вращательного движений. После теоретических вопросов приведены примеры решения задач по данной теме и в заключении представлены семь блоков задач по тридцать вариантов в каждом блоке для самостоятельного решения в качестве домашних заданий.

Предназначены для студентов дневного и вечернего обучения всех технических специальностей.

Печатается по решению редакционного издательского совета Омского государственного технического университета.

Механика материальной точки

Скаляры и векторы

В физике широко используются скалярные и векторные величины.

Скалярной называется величина, каждое значение которой выражается одним числом в любой системе координат (длина, время, масса и т.п.).

Вектором называется величина, определяемая числовым значением и направлением в пространстве (скорость, сила, напряженность и т.п.).

Длина вектора, измеренная в определенном масштабе, называется модулем вектора.

Любой вектор можно представить в виде произведения его модуля на единичный вектор .

Единичные векторы, направленные вдоль координатных осей, принято обозначать: ; ; .Они называются ортами.

Пусть известен угол α между некоторой осью Ох и вектором . Опустим перпендикуляр из конца вектора на эту ось (рис. 1.1.).

К х

Рис. 1.1

Величина называется проекцией вектора на ось Ох. Знак проекции определяется знаком cosα, а ее численное значение равно длине отрезка ОК.

Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то проекции вектора на координатные оси обозначаются , , . (рис. 1.2.)

у

х

z

Рис. 1.2

Любой вектор может быть представлен в виде суммы трех векторов:

. (1.1)

Модуль вектора в этом случае равен

. (1.2)

Суммой двух векторов и называется вектор = + . – результирующий вектор; и – составляющие векторы (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Для определения результирующего вектора перемещаем вектор парал-лельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора . Из начала вектора к концу вектора проводим вектор .

В физике широко используются два вида произведений векторов: скалярное и векторное.

Скалярное произведение двух векторов и - это скалярная величина, численно равная произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

.

Векторным произведением векторов и является вектор , модуль которого равен произведению модулей этих векторов на синус угла между ними.

Направление вектора перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от к будет происходить против часовой стрелки (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Кинематика материальной точки

Все тела имеют определенные размеры и форму. Но в некоторых случаях размерами тела можно пренебречь.

Тело, размерами которого при изучении его движения можно пренебречь, называется материальной точкой.

Для описания движения материальной точки необходимо указать систему отсчета, относительно которой движение происходит. Система отсчета включает в себя тело отсчета, связанную с ним систему координат и прибор для измерения времени.

Положение точки в пространстве можно определить, задав ее координаты (x, y, z), или радиус – вектор, т.е. вектор, проведенный из начала координат в рассматриваемую точку (рис. 1.5), и выражается соотношением:

А

х

(Рис. 1.5)

. (1.3)

Модуль радиус-вектора:

. (1.4)

Если материальная точка перемещается в пространстве, то ее радиус – вектор с течением времени изменяется:

. (1.5)

Это соотношение называется уравнением движения.

При движении материальная точка описывает линию.

Линия, которую описывает точка в данной системе координат, называется траекторией.

В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейные движения.

При движении точки из положения I в положение II (рис. 1.6) радиус – вектор меняется от до .

Рис. 1.6

Величина называется приращением радиус-вектора, или вектором перемещения; т.е. вектор перемещения – это вектор, проведенный из начальной точки траектории в конечную.

Расстояние, пройденное материальной точкой вдоль траектории, называется длиной пути (S).

Движение материальной точки характеризуется ее скоростью. Это векторная физическая величина, численно равная и совпадающая по направлению с перемещением, совершаемым за единицу времени.

В общем случае неравномерного криволинейного движения используются понятия средней и мгновенной скоростей.

Мгновенная скорость определяется выражением

. (1.6)

Ее модуль

. (1.7)

Направлена мгновенная скорость по касательной к траектории (рис. 1.7).

Пользуясь соотношением (1.6), можно найти приращение радиус-вектора:

,

,

,

. (1.8)

Пользуясь выражением (1.7), можно найти путь S, пройденный материальной точкой за время :

,

,

. (1.9)

Средняя скорость определяется равенством

и совпадает по направлению с вектором перемещения (рис. 1.7).

1

2

Рис. 1.7

Изменение скорости характеризуется ускорением.

Ускорение – это векторная физическая величина, численно равная и совпадающая по направлению с приращением скорости за единицу времени.

Используются понятия мгновенного и среднего ускорений.

Мгновенное ускорение определяется соотношением:

. (1.10)

Соотношение (1.10) позволяет найти зависимость скорости от времени:

, (1.11)

, (1.12)

или приращение скорости за время

,

. (1.13)

При неравномерном криволинейном движении изменяются величина и направление скорости. В этом случае полное ускорение представляет собой сумму двух ускорений – тангенциального и нормального :

(1.14)

Рис. 1.8

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Его модуль равен:

(1.15)

Оно направлено по касательной к траектории (рис. 1.8).

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Его модуль равен:

, (1.16)

R – радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Направлено нормальное ускорение к центру кривизны траектории (рис. 1.8).

Модуль полного ускорения

. (1.17)

Одним из видов движения тела является прямолинейное движение с постоянным ускорением . Оно называется равнопеременным.

Такое движение описывается уравнениями:

, (1.18)

. (1.19)

Поиск по сайту: