Помощничек
Главная | Обратная связь

...

Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Экскурс в квантовую механику

Волновая функция Ψ — это центральное понятие в к. механике, описывает к. состояние изолированной системы из одной или нескольких частиц. Т.е. одна волновая функция описывает состояние всей системы, а не отдельные функции на каждую частицу.

Волновая функция — это комплекснозначимая функция степеней свободы системы, непрерывная или дискретная.

Множество волновых функций системы образуют функциональное Гильбертово пространство (пространство называется Гильбертовым, если оно полное, и на нём определено внутреннее произведение [произведение двух векторов, дающее скаляр]). А внутреннее произведение — это мера наложения между физическими состояниями (соответствие между вероятностями перехода между физическими состояниями и внутренним произведением задаётся правилом Борна).

 

Развитие волновой функции по времени задаётся уравнением Шрёдингера (аналог 2го закона Ньютона, F = ma, в классической механике):

где i – мнимая единица, ħ — постоянная Планка, делённая на , ∂/∂t - частная производная по времени, Ψ - волновая функция системы, Ĥ - Гамильтониан (оператор, характеризующий полную энергию волновой функции).

Математически, уравнение Шрёдингера — разновидность волнового уравнения. Отсюда корпускулярно-волновой дуализм — т. е. система, описываемая таким образом, ведёт себя как волна. (однако, волна эта — не как физическая волна, например жидкости, а волна в абстрактном математическом пространстве).

Значения волновой функции (комплексные числа) сами-по-себе ничего не говорят о величинах и направлениях наблюдаемых. Нужно применить к волновой функции квантовый оператор, чьи собственные значения соответствуют множеству возможных результатов

измерения, и вычислить статистическое распределение измеряемой величины.

 

Собственные вектора и значения:

Если Ax=λx, то x — собственный вектор, а λ — соответствующее ему собственное значение матрицы A (или соответствующего линейного преобразования A). Геометрически, это означает что при преобразовании A вектор x не меняет своего направления, только растягивается на величину λ.

 

Измерение:

Проблема квантового измерения в том, что квантовое состояние, в котором измеряется наблюдаемая величина — неопределённо. Оно мыслится как суперпозиция собственных состояний наблюдаемой — состояний, в которых наблюдаемая уникально определена. (например, спин электрона — вверх, или вниз).

Т.е. нам недоступны все λi – мы можем только измерить состояние — и с вероятностью |λi|2 получим некоторое базовое состояние |i>.

Когда осуществляется измерение состояния квантовой системы – система (по Копенгагенской интерпретации) перепрыгивает в одно из собственных состояний системы (это называется коллапс волновой функции), возвращая собственное значение, соответствующее этому состоянию. Суперпозиция состояний даёт им неодинаковые веса — чем больше вес данного состояния, тем выше вероятность, что именно оно будет измерено.

По Многомировой интерпретации, состояние системы не коллапсирует при измерении — а мы попадаем в ту или иную возможную Вселенную, где реализуется этот вариант состояния.

По Теории де Бройля — Бома состояние системы строго определённо в каждый момент времени. Эволюция конфигурации во времени задаётся с помощью «задающего уравнения» (даже при отсутствии наблюдателя) - при измерении одной частицы оно моментально задаёт положения всем остальным. Это, очевидно, нелокальная теория.

По Теории декогеренции, при взаимодействии со средой, квантовая система неизбежно теряет информацию необратимым образом (информация «утекает» в среду) — вследствие того что компоненты квантовой системы расцепляются, и сцепляются с элементами среды. Это не вызывает «действительный» коллапс волновой функции — мы только наблюдаем это как коллапс, вследствие утечки информации в среду. В то время как «глобальная» волновая функция (нашей квантовой системы + среды) сохраняется.

 

По Закону Борна, результат измерения наблюдаемой, соответствующей оператору A, в системе с волновой функцией ψ, будет одним из собственных значений A. И вероятность, что будет измерено данное λi- равна |<λi|ψ>|2.

 

Запутанность — это нелокальное свойство, позволяющее множеству кубитов испытывать большую степень соотношения, чем это возможно в классических системах. Иными словами, запутанность не зависит от расстояния между частицами, в отличие от классических феноменов — таких как ядерные, гравитационные или электромагнитные поля.

Например, два запутанных кубита в состоянии Бэлла (равная суперпозиция):

1/√2(|00>+|11>)

имеют равную вероятность, что измерение даст |00> или |11>.

Теперь разделим эти два кубита, и один дадим Алисе, а другой Бобу. Алиса измеряет свой кубит, и получает с равной вероятностью |0> или |1>. Теперь, если Боб измерит состояние своего кубита — измерение тоже будет выглядеть случайным — но когда Алиса и Боб сообщат друг другу о результатах, они окажутся одинаковыми. Это так, потому что состояние всей системы может быть только |00> или|11>.

Запутанность также позволяет действовать одновременно нескольким состояниям - в отличие от классических битов, которые могут иметь только одно значение в каждый момент времени. Запутанность — необходимый ингредиент любого квантового вычисления, которое не может быть эффективно осуществлено классическим компьютером.

 

Состояние Бэлла — центральный элемент знаменитого ЭПР-парадокса: как одна частица моментально «знает» о том, что сделали со второй? Это возможно только если частицы как-то заранее договорились, какой результат измерения дать (теории скрытой переменной, Эйнштейн, ОТО), или если одна моментально, т. е. быстрее скорости света, передала информацию другой (нелокальные теории, Бор, КМ). В 1964 Бэлл показал, что предсказания квантовой теории кардинально отличаются от результатов любой теории скрытой переменной. В 1981 Аспект поставил эксперимент, который подтвердил, что скорее права КМ.

 

Устройство

Кубит.

Кубит — это физическая квантовая система, которая может пребывать в двух различимых состояниях (например, верхний и нижний спин электрона). Измерение состояния кубита даёт 0 или 1, как и обычного бита (измерение в квантовой механике — это целое сложное поле дебатов, зависящее от различных интерпретаций квантовой механики). Разница с битом в том, что кубит может пребывать и в суперпозиции этих двух состояний.

 

Отличия от бита:

  • кубит содержит непрерывные комплексные значения. Но, вследствие принципа неопределённости Гейзенберга, его полное значение точно измерить невозможно.
  • кубит нельзя целиком перевести в классический бит, т.е. считать или скопировать – к. состояние можно только перенести на другую физическую систему с разрушением источника, с помощью к. телепортации.
  • передача информации в кубитах осуществляется через преобразования над пространством состояний, сохраняющие след.

 

Работа кк состоит в том, что мы устанавливаем кубиты в начальное состояние, которое отражает задачу; затем воздействуем на них конечной последовательностью квантовых логических вентилей (эта последовательность называется квантовый алгоритм); и в конце мы производим измерение - коллапсируя состояние системы в 1 из 2n базовых состояний. Результат, таким образом, даёт не более n битов информации.

Квантовые алгоритмы обычно недетерминистичны — т. е. дают ответ с некоторой вероятностью.

 

2) Состояния кубита:

1. чистые состояния — линейная суперпозиция базовых состояний |0> и |1>:

|ψ>=α|0>+β|1>.

где α и β — это амплитуды вероятности, комплексные числа в общем случае. При измерении состояния |ψ> - результат будет |0> с вероятностью |α2|, и |1> с вероятностью |β2|:

|α2|+|β2|=1.

 

Сфера Блоха:

Это комплексная проективная прямая в Гильбертовом пространстве состояний — единичная сфера.

Классический бит может быть только на Северном или Южном полюсе сферы, в одном из базовых состояний |0> или |1>. Кубит же может быть в любой точке на поверхности сферы — это чистые состояния; или внутри неё — это смешанные состояния.

α=cos(θ/2)

β=eiφsin(θ/2)

Например, чистое состояние 1/√2|0>+i/√2|1> будет лежать на экваторе сферы, на положительной оси y.

Поверхность сферы — двумерное пространство чистых квантовых состояний. (Хоть α и β — комплексные числа — это пространство не четырёхмерно, поскольку есть 2 ограничения: |α2|+|β2|=1; и то что общая фаза состояния не имеет физического смысла — так что мы можем выбрать α вещественным)

(сфера Блоха годится только для двухуровневой системы, для больших размерностей визуализация перестаёт быть столь наглядной)

 

2. смешанные состояния — это статистический ансамбль чистых состояний, т. е. распределение вероятностей между всеми возможными состояниями системы. Они неизбежно возникают в составных к. системах H1 (x) H2 с запутанным состоянием в них, когда часть H2 недоступна наблюдателю. Состояние части H1 описывается как частичный след состояния H2.

Смешанное состояние описывается не кетом, а матрицей плотности (чистое состояние также можно описать матрицей плотности). . Это способ описать поведение множества частиц с помощью статистического формализма для одной частицы — через распределение вероятностей состояний, в которые эти частицы могут попасть.

На сфере Блоха смешанные состояния — это точки внутри сферы (это следует из переопределения оператора плотности через вектор Блоха - многабукаф). В нашем случае, они будут описываться матрицей 2x2, которая самосопряжённая ( ), положительно-определённая, и имеет след=1.

В смешанном состоянии, в отличие от суперпозиции состояний, различные квантовые состояния не интерферируют между собой, так как при определении среднего складываются не волновые функции, а средние значения.

(пример: эксперимент с двумя щелями. Каждый фотон пребывает в суперпозиции состояний «правая щель»-«левая щель», в результате образуется интерференционная картина. Пучок фотонов пребывает в смешанном состоянии, т. е. каждый фотон попадает в левую ИЛИ правую щель с той или ной вероятностью)

Смешанные состояния возникают, когда наблюдатель не знает, на какое именно чистое состояние осуществляется воздействие. Также, если некоторые элементы к. системы находятся в запутанном состоянии, каждый из них должен рассматриваться как находящийся в смешанном состоянии, даже если система целиком находится в чистом состоянии.

 

Операции над кубитами

Измерение в стандартном базисе— получаем информацию о состоянии кубита. Результат будет|0> с вероятностью |α2|, и |1> с вероятностью |β2|. Измерение меняет значения α и β. Например, если было измерено |0>, то α меняется на 1, а β - на 0. Измерение кубита, запутанного с другой квантовой системой, переводит чистое состояние в смешанное:

Например, если мы измерим первый кубит в двухкубитной системе a|00>+b|01>+c|10>+d|11>, то получим:

С вероятностью первый кубит перейдёт в состояние , а второй — в состояние ,

С вероятностью первый кубит перейдёт в состояние , а второй — в состояние .

Т.е. измерение даст базовое состояние у первого кубита, и суперпозицию у второго. Это означает, что система оказалась в смешанном состоянии.

Измерение не является унитарным преобразованием, т. к. оно необратимо.

 

Работа к. комьютера заключается в инициализации начального состояния, применении последовательности к. вентилей, и затем измерении результата.

 

В случае классического вероятностного компьютера, мы выбираем из распределения вероятности на 2-битном регистре, и получаем одно точное значение, например 00.

В к. компьютере мы измеряем состояние двух кубитов, коллапсируя систему к классическому распределению, а затем уже вероятностно выбираем из этого распределения.

Поэтому большинство алгоритмов дают результат с некоторой вероятностью. Многократно инициализируя, прогоняя и измеряя результат, мы увеличиваем вероятность правильного ответа.

 

Вентили

Квантовый логический вентиль — это унитарное преобразование над пространством состояний, соответствующее вращению кубита в сфере Блоха. Вентили — унитарны (т.е. сохраняют скалярное произведение), т. к. эволюция к. системы должна сохранять норму, чтобы вероятности суммировались к 1.

Т.е. одна операция над кубитом затрагивает сразу все его возможные состояния — это и обеспечивает параллелизм вычислений.

 

В классическом вычислении, обратимый вентиль — это биективное отображение

f :{0,1}n->{0,1}n

Т.е. переводит n битов в n битов. Например, NOT. А AND или OR необратимы.

 

В к. вычислении, мы имеем Гильбертово пространство линейных суперпозиций классических последовательностей битов. Это векторное пространство над комплексными числами, размерности 2n.

И к. вентиль отображает его на само себя. Т.е. количество входов всегда равно количеству выходов.

Наиболее широко применяемые вентили:

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.