Рассмотрим основные свойства определённого интеграла

У меня нет цели копипастить учебники, и я остановлюсь только на тех свойствах, которые имеют существенное значение для практики. Нумерация, пожалуй, ни к чему:

– Свойство, которое уже фигурировало в предыдущем пункте: интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: . Графическая интерпретация очевидна: криволинейная трапеция вырождается в отрезок, а площадь отрезка с геометрической точки зрения равна нулю.

– Свойства линейности:

Уважительно промолчим.

– Если у интеграла поменять местами пределы интегрирования, то он сменит знак:

Почему? Пусть для определённости . Тогда при перестановке пределов интегрирования разбиение отрезка будет проводиться справа налево (вспоминаем ступенчатую фигуру 1-го чертёжа), и длины частичных промежутков формально станут отрицательными , поэтому интегральная сумма и сам интеграл (как предел суммы) сменит знак.

Следует заметить, что на практике намного чаще пользуются вторым случаем – когда изначально , например:

Цель этих действий – расставить пределы интегрирования в привычном порядке, хотя исходный интеграл и так рассчитывается без всяких проблем. Однако не редкость, когда перестановка пределов интегрирования не только удобна, но и рациональна.

– Какими бы ни были точки :

Здесь в первую очередь, конечно же, напрашивается ситуация, когда точка «цэ» лежит внутри отрезка . Просто и естественно – криволинейную трапецию можно разделить на две части, т.е. изначальная площадь будет равна сумме площадей.

Но данное свойство работает и в «нестандартном» случае, когда точка «цэ» лежит вне промежутка . Желающие могут проанализировать это самостоятельно.

– Пожалуйста, запомните! Если подынтегральная функция , то (здесь и далее полагаем, что ). И, наоборот, если , то интеграл будет неположительным: .

Свойство элементарно доказывается: снова вспоминаем, что . Длины частичных промежутков положительны: , но в первом случае значения функции (криволинейная трапеция лежит не ниже оси абсцисс), а во втором случае (криволинейная трапеция лежит не выше оси абсцисс)

Таким образом, если при вычислении интеграла у вас получилось отрицательное значение – ищите ошибку. Функция на промежутке интегрирования (и, к слову, вообще на любом ненулевом промежутке), поэтому интеграл обязательно должен получиться положительным.

Наоборот – если интеграл получился положительным, то здесь тоже где-то допущена ошибка, поскольку на отрезке .

! Совет: перед решением любого определённого интеграла всегда полезно проанализировать знак подынтегральной функции!

–Ещё одно важное свойство. Если функции интегрируемы на , и для всех «икс» из данного промежутка справедливо неравенство , то

Тоже всё наглядно – график функции расположен не ниже графика функции , поэтому площадь будет не меньше, а на практике почти всегда –больше площади .

Из данного свойства следует важнейшая рабочая формула вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций и прямыми :

– Если на , то

Рассмотрим конкретную задачу, поясняющую геометрический смысл данного свойства, а то я чувствую, вы уже изнываете без практики =)

Пример 1

Оценить определенный интеграл

Решение: подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, достигает на нём и – наименьшего и наибольшего значений. Решаем стандартную двухшаговую задачу по нахождению :

1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку:

– критическая точка.

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

Таким образом:

Длина отрезка интегрирования:

В результате, оценка определённого интеграла:

Ответ:

Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции (синяя штриховка)не меньше площади красного прямоугольника и не больше площади зелёного прямоугольника :

Да, оценка, конечно, очень грубая, но таково задание и оно иногда встречается в контрольных работах. Кстати, интеграл является неберущимся, и вычислить заштрихованную площадь можно лишь с определённой точностью, например, методом трапеций, по формуле Симпсона, с помощью разложения функции в ряд, др. способами.

– И в заключение параграфа – теорема о среднем: если функция непрерывна на , то существует точка – такая, что . Геометрический смысл теоремы я уже использовал при выводе формулы Ньютона-Лейбница, единственное, там речь шла о кусочке криволинейной трапеции, здесь же – о всей фигуре. Грубо говоря, всегда существует прямоугольник со стороной (длина отрезка интегрирования), площадь которого равна площади .

Доказательство опустим, поскольку в нём фигурируют другие теоремы математического анализа.

А сейчас оставшихся со мной читателей ждёт вознаграждение, позволяющее проникнуться, если хотите, философией темы:

Поиск по сайту: