Вывод формулы Ньютона-Лейбница

Рассмотрим тот же график и познакомимся с функцией переменной площади . Что это за функция? Зафиксируем произвольную точку (левая красная точка), лежащую между точками «а» и «бэ»:

В данной точке функция равна площади криволинейной трапеции, которая расположена между зелёной и синей линиями и заштрихована синим цветом. Мысленно начните уменьшать значение «икс» и сдвигать синюю прямую влево – площадь начнёт уменьшаться и, в конце концов, в точке станет равной нулю: (прямые совпадут). Теперь возвращаемся на исходную позицию и сдвигаем синюю линию вправо – в этом случае площадь начнёт расти. И когда мы достигнем верхнего предела (синяя прямая «закроет» красную), площадь будет равна в точности площади всей криволинейной трапеции: .

Таким образом, аргумент может изменяться в пределах , при этом функция (площадь) будет возрастать от до .

Докажем, что функция переменной площади является первообразной функцией для функции , то есть докажем, что .

Вернёмся к нашей точке «икс» и зададим в ней приращение (зелёная стрелка). Для определённости полагаем, что (случай доказывается аналогично). Приращение аргумента влечёт приращение функции – геометрически это площадь криволинейной трапеции, которая заштрихована голубым цветом.

По так называемой теореме о среднем, на отрезке существует точка «цэ» –такая, что площадь коричневого прямоугольника равна площади голубой трапеции:

Примечание: этот участок чертежа схематичен, поскольку мне трудно подобрать идеально точное местоположение точки «цэ»

По определению производной, производная функции – это отношении приращения функции к приращению аргумента при :
.

И, ввиду равенства :

(*) Так как , то точка «цэ» бесконечно близко приближается к точке «икс», и, соответственно:

Таким образом, для любого из рассматриваемого промежутка справедливо равенство , означающее, что функция является первообразной для функции .

По теореме, доказанной в самом начале урока, множество всех первообразных представимо в виде , где – какая-нибудь другая первообразная для функции .

Теперь в данное равенство подставляем и соответствующее значение площади :

, откуда следует, что

Найденное значение константы подставляем в :

Выруливаем на финишную прямую. При функция принимает значение, равное площади всей криволинейной трапеции: . Подставим и в уравнение :

Следует отметить, что в учебниках по высшей математике вывод этой формулы проводится в более солидном ключе – с помощью интеграла с переменным верхним пределом. Я же ограничился упрощенной версией доказательства, чтобы материал был понятен бОльшему количеству читателей.

Это ещё, кстати, не всё =) Завершаем мысль:

В предыдущем параграфе мы доказали, что площадь криволинейной трапеции – есть предел интегральной суммы: .

Но с другой стороны, .

И из этих двух фактов следует лаконичная формула Ньютона-Лейбница:
, где – первообразная функция для функции .

Множество практических примеров на применение формулы можно найти в статьяхОпределённый интеграл. Примеры решений и Вычисление площади с помощью определённого интеграла, а также в последующих статьях раздела.

Поиск по сайту: