Определённый интеграл и его свойства

Настал момент, который все ждали, затаив дыхание. Что такое определённый интеграл и почему он есть площадь? Да и откуда взялся сам значок интеграла? Вот мы много раз слышали: «интеграл, интеграл, интеграл, …». Но понятие же не из космоса прилетело! Читаем:

Пусть функция определена на промежутке . Для определённости и простоты считаем, что функция положительна и непрерывна на данном отрезке. Поставим задачу найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и осью . Обращаю внимание на тот факт, что непрерывность функции на отрезке заведомо гарантирует существование конечнойплощади .

Разобьём отрезок на частей следующими точками:
(красные точки):

В результате получено частичных промежутков с длинами соответственно. В общем случае длины различны – какие-то отрезки короче, какие-то длиннее. Максимальную длину называют диаметром разбиения и обозначают буквой «лямбда»: .

Примечание: последняя запись читается, как «максимальное значение из множества (набора) »

В каждом из полученных промежутков опять же произвольно выбираем точки (синие квадратики).

Примечание: («кси») – 14-ая буква греческого алфавита

Рассмотрим промежуток . Его длина, очевидно, равна (зелёная обоюдоострая линия). Значению аргумента соответствует значение функции (синие пунктирные линии), и произведение в точности равно площадисоответствующего коричневого прямоугольника.

Аналогично устроен каждый отрезок. Составим сумму, которая равна площади коричневой ступенчатой фигуры:

Данная сумма называется интегральной суммой, и её часто записывают в свёрнутом виде:

Примечание: – это значок суммы, а переменная – своеобразный «счётчик», т.е. сначала , затем , потом , … и, наконец,

Что означает прилагательное «интегральной»? В широком смысле слова,интегрировать – это значит, что-то объединять. В данном случае интегральная сумма объединяет площади коричневых прямоугольников и с некоторой точностьюприближает площадь криволинейной трапеции:

Теперь зададимся вопросом: как улучшить точность приближения? Действия очевидны – увеличиваем и увеличиваем значение . При этом количество отрезков растёт, а их длины –уменьшаются, в том числе неизбежно уменьшается и максимальная длина . Количество точек тоже возрастает и ступенчатая фигура всё больше и больше напоминает криволинейную трапецию.

И, если количество отрезков разбиения устремить к бесконечности , то интегральная сумма (площадь ступенчатой фигуры) будет стремиться к площади криволинейной трапеции: .

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральной суммы при диаметре разбиения, стремящемся к нулю:

Наблюдаем за удивительным превращением:

1) В рассматриваемом контексте сумму ещё с 17-го века обозначали растянутой буквой S (Summa). Это обозначение известно как значок интеграла:

2) Если (и, следовательно, ), то значения стремятся «покрыть» всезначения функции из промежутка , то есть:

, при этом пределы интегрирования:

3) И, наконец, длина любого промежуточного отрезка становится бесконечно малой. Обозначение этой бесконечно малой длины мы тоже хорошо знаем, оно указывает, что объединение ведётся по переменной «икс»:

В результате, площадь криволинейной трапеции:

Определение: конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа дробления отрезка , ни от выбора точек , называетсяопределённым интегралом функции по промежутку и обозначается символом .

При этом функция называется интегрируемой в промежутке . Для интегрируемости (а, значит, существования конечной площади), напоминаю,достаточно непрерывности функции на отрезке . Если же на данном промежутке есть участки, где функция, например, не определена (нет её графика), то конечного предела и, соответственно, определённого интеграла не существует.

По аналогичному принципу (дробление отрезка, выбор промежуточных точек, нахождение интегральной суммы, предел и предельный переход)выводятся другие тематические формулы: объема тела вращения, длины дуги кривой, площади поверхности вращения и т. д. Надеюсь, теперь вам будет значительно легче разобраться в соответствующем теоретическом материале.

Если что-то осталось недопонятым, текст следует не спеша перечитать заново либо вернуться к нему позже. Наиболее вероятные затруднения здесь связаны с альфой и омегой математического анализа – предельным переходом; в этом случае советую основательно проштудировать статьи о пределах и теории производной функции.

Всё было бы хорошо, но формулу очень трудно применить на практике (даже для простых функций), поэтому возникает задача отыскания более эффективного пути расчёта площади. И такой путь действительно существует – ведь из определения определённого интеграла следует, что он не зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек . Важен лишь только нижний предел интегрирования «а», верхний предел интегрирования «бэ» и сама функция «эф от икс».

Поиск по сайту: