Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Интеграл от корня из дроби



Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.

Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
, где – числа. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.

Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:

Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал .

Выражаем «икс»:

Теперь найдем дифференциал:

Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?

Я вывел готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида !

Формулы замены таковы:

Это было ни в коем случае не хвастовство, просто я не смог быстро найти эти формулы в близлежащей литературе и Сети – оказалось проще вывести. Да и может быть кто-нибудь для реферата возьмет.

Опять – двадцать пять, заключительный пример:

Пример 25

Найти неопределенный интеграл

Проведем замену:

В данном примере:

Таким образом:

Еще куда ни шло, могло всё оказаться значительно хуже. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:

Проведем обратную замену. Если изначально , то обратно:

Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!

Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал .

Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

Решения и ответы:

Пример 2:Решение:

Проведем замену:


Интегрируем по частям:

Пример 3:Ответ:

Пример 4:Ответ:

Пример 6:Решение:

Интегрируем по частям:


Таким образом:

В результате:

Пример 8:Решение:
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:





Таким образом:

Пример 10:Решение:

Проведем замену:

Пример 11:Решение:

Замена:

Пример 12:Решение:

Замена:

Пример 14:Решение:

Дважды используем рекуррентную формулу



Пример 16:Решение:

Пример 18:Решение:

Используем формулу приведения: и формулу двойного угла: .

Пример 19:Решение:

Пример 21:Решение:
–3 – 3 = –6 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число

Пример 23:Решение:

Пример 24:Решение:

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?


 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.