Теперь маленькая задачка, на какой множитель нужно умножить , чтобы получить ? Очевидно, что на :
Далее умножаем сначала на , потом – на , потом – на , потом – на 0 и записываем результаты слева:
Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ):
Старшая степень остатка равна двум, старшая степень делителя – больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы изначально у нас был в числителе многочлен пятой степени, то то алгоритм деления увеличился бы на один шаг.
Итак, наше решение принимает следующий вид:
Делим числитель на знаменатель:
(1) Что дало деление? Много хорошего: теперь у нас два слагаемых, первое – интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь, которую мы решать уже умеем.
После деления всегда желательно выполнять проверку. В рассматриваемом примере можно привести к общему знаменателю , и в результате получится в точности исходная неправильная дробь
(2) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители
Дальше всё идет по накатанной схеме:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Готово.
И, наконец, заключительный пример для самостоятельного решения. Он очень интересен, рекомендую всем!
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Только что обратил внимание, что во всех примерах урока в ходе решения систем у нас получались «хорошие» целые коэффициенты . По той причине, что почти все интегралы я взял из сборника Рябушко. На практике же, когда автор методички придумает какой-нибудь корявый интеграл, часто будут появляться разные нехорошести. Таким образом, если в ходе решения интеграла от дробно-рациональной функции у Вас получаются дробные значения коэффициентов , то в этом нет ничего страшного, ситуация даже обыденна.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2:Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Комментарий: в правой части у нас нет слагаемого с, поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль.
Пример 4:Решение:
Шаг 1.Проверяем, правильная ли у нас дробь Старшая степень числителя: 6 Старшая степень знаменателя: 8 , значит, дробь является правильной.
Шаг 2.Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители. Множитель разложить нельзя, а вот – можно:
Шаг 3.Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей. В данном случае, разложение имеет следующий вид:
Пример 6:Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Пример 7:Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Пример 9:Решение:
(1) Здесь неправильная дробь, поскольку старшие степени числителя и знаменателя равны: 3 = 3. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе.
(2)-(3) Теперь можно разделить на знаменатель, но делать этого… я не буду. Можно поступить хитрее. Используем прием, который рассмотрен в первом параграфе урокаИнтегрирование некоторых дробей.
(4) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель оставшейся, уже правильной, дроби снова записываем в виде произведения множителей. Тут я немного подсократил разложение, надеюсь, всем понятно, что
Далее накатанная колея…
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при некоторых знаниях и навыках решения неопределенного интеграла, поскольку интегралы от корней, во-первых, встречаются реже, чем другие типы интегралов, а во-вторых, некоторые из них – самые настоящие крепкие орешки. Таким образом, если Вы чайник, и за плечами всего десяток прорешанных интегралов, да и с методом замены переменной в неопределенном интеграле не очень, то лучше начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений. Хотя, не пугаемся, не разбегаемся – простейшие примеры с квадратными корнями, думаю, будут понятны широкому кругу студентов. Весь материал я постараюсь изложить максимально подробно и максимально просто.
На уроке мы разберем простейшие неопределенные интегралы от иррациональных функций, чуть более громоздкие (с разными корнями), и закончится повествование биномиальными интегралами, кои уже являются немного дебрями интегралов, где преподаватель-волк частенько кушает зайцев.