 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Формула применяется слева направо
Смотрим на левую часть: В интегралах рассматриваемого типа за Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:
То есть, за Следующий этап: находим дифференциал
Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках. Теперь находим функцию
Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы:
Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам. Обратите внимание, что в ряде случаев сразу после применения формулы, под оставшимся интегралом обязательно проводится упрощение – в рассматриваемом примере мы сократили подынтегральное выражение на «икс». Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно. В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: Формула интегрирования по частям Пример 2 Найти неопределенный интеграл.
Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен.
Я еще один раз подробно распишу порядок применения правила, в дальнейшем примеры будут оформляться более кратко, и, если у Вас возникнут трудности в самостоятельном решении, нужно вернуться обратно к первым двум примерам урока. Как уже говорилось, за Записываем в столбик: Сначала находим дифференциал
Здесь использовано правило дифференцирования сложной функции Теперь находим функцию
Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу Теперь всё готово для применения формулы
Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за
Хорошо бы, если к данному моменту простейшие интегралы и производные Вы умели находить устно.
(1) Не путаемся в знаках! Очень часто здесь теряют минус, также обратите внимание, что минус относится ко всей скобке (2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем. (3) Берем последний интеграл. (4) «Причесываем» ответ. Необходимость дважды (а то и трижды) применять правило интегрирования по частям возникает не так уж и редко. А сейчас пара примеров для самостоятельного решения: Пример 3 Найти неопределенный интеграл.
Этот пример решается методом замены переменной (или подведением под знак дифференциала)! А почему бы и нет – можете попробовать взять его по частям, получится забавная вещь. Пример 4 Найти неопределенный интеграл.
А вот этот интеграл интегрируется по частям (обещанная дробь). Это примеры для самостоятельного решения, решения и ответы в конце урока. Вроде бы в примерах 3,4 подынтегральные функции похожи, а вот методы решения – разные! В этом-то и состоит основная трудность освоения интегралов – если неправильно подобрать метод решения интеграла, то возиться с ним можно часами, как с самой настоящей головоломкой. Поэтому чем больше вы прорешаете различных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут зачет и экзамен. Кроме того, на втором курсе будут дифференциальные уравнения, а без опыта решения интегралов и производных делать там нечего. По логарифмам, пожалуй, более чем достаточно. На закуску могу еще вспомнить, что студенты-технари логарифмами называют женскую грудь =). Кстати, полезно знать назубок графики основных элементарных функций: синуса, косинуса, арктангенса, экспоненты, многочленов третьей, четвертой степени и т.д. Нет, конечно, презерватив на глобус
Поиск по сайту: |
. Очевидно, что в нашем примере 
(и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за 
, а что-то за 
.
:
. Для того чтобы найти функцию 
:
.
я сразу переставил местами 
принято записывать перед логарифмом.
. И это не случайно.
и формула 
. Не случайно, на самом первом уроке темы Неопределенный интеграл. Примеры решений я акцентировал внимание на том, что для того, чтобы освоить интегралы, необходимо «набить руку» на производных. С производными придется столкнуться еще не раз.
:
:
, и эти скобки нужно корректно раскрыть.
