Скорости волнового движения

Необходимо четко усвоить следующее: отдельные частицы, составляющие среду, не распространяются вместе с волнами через среду. Они гармонически колеблются в поперечном или продольном направлении относительно своих положений равновесия. Мы наблюдаем как волны их фазовые отношения, а не распространение частиц в среде.

При волновом движении следует различать три скорости, которые представляют собой существенно различные величины.

1. Скорость движения частиц. Она выражается через смещение частиц обычным образом, как частная производная от смещения по времени

(10)

1. Фазовая скорость. Это скорость, с которой перемещаются в среде поверхности одинаковой фазы. Зафиксируем какое-либо значение фазы в уравнении бегущей волны (6), полагая

(11)

Это выражение дает связь между временем и местом (координатой) , в котором зафиксированное значение фазы реализуется в данный момент.

Используя выражение (11) можно найти производную , представляющую собой скорость, с которой перемещается в среде фиксированное значение фазы.

Продифференцируем выражение (11):

откуда

(12)

Таким образом, скорость распространения волны в среде , которую мы ввели в соотношениях (4) и (5), есть серость перемещения фиксированного значения фазы, т.е. фазовая скорость.

1. Групповая скорость. Понятие "групповая скорость" является несколько более сложным, чем фазовая скорость. Оно будет подробнее рассматриваться в последующих курсах общей физики. Представление о групповой скорости возникает при изучении распространения волнового пакета или цуга волн в среде (рис. 3).

Такой волновой пакет или цуг волн можно представить как результат суперпозиции волн различной амплитуды и частоты. Если среда обладает дисперсией, т.е. скорость распространения является функцией частоты, такой волновой пакет будет "расплываться" в пространстве. Понятие "фазовая скорость" для пакета неприменимо. В этом случае удобно пользоваться понятием "групповая скорость". Это скорость перемещения огибающей в пространстве, или скорость переноса энергии.

Волновое уравнение.

Также, как уравнение гармонических колебании является решением дифференциального уравнения, называемого уравнением гармонического осциллятора, уравнение плоской волны является решением дифференциального уравнения второго порядка - волнового уравнения.

Выведем волновое уравнение для частного случая распространения поперечных волн на бесконечной тонкой струне. Пусть ось ориентирована вдоль струны, находящейся в состоянии равновесия. Функцией обозначим смещение частиц струны при распространении по ней поперечной волны. Полагаем, что вдоль струны существует постоянное натяжение . Масса однородной струны, приходящаяся на единицу длины, называется её линейной плотностью . На искривленный элемент струны (рис. 4) с одного конца действует натяжение под углом к оси , а с другого – натяжение под углом . Длинна искривленного участка равна:

(13)

Но для малых колебаний можно считать, что мала и её квадратом можно пренебречь, и тогда . Следовательно, масса элемента струны равна

(14)

Перпендикулярно оси сила, действующая на элемент равна

Мы рассматриваем малые колебания, поэтому угол мал и . Тогда сила равна

(15)

Разность в квадратных скобках можно представить как произведение элемента расстояния на производную функции , т.е.

(16)

Таким образом, сила, действующая на элемент струны со стороны соседних элементов, выражается соотношением

(17)

Напишем второй закон Ньютона для этого элемента:

(18)

Отсюда

(19)

Отношение имеет размерность квадрата скорости. Поэтому уравнение (19) можно переписать так:

(20)

Это соотношение называют волновым уравнением. Скорость распространения упругих волн на струне определяется ее линейной плотностью и натяжением :

(21)

Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что уравнение плоской волны в форме (6) или (9), является решением волнового уравнения.

Рассматривая движение малого объёма жидкости или газа при распространении в них упругих продольных волн, можно показать, что смещение выделенного элемента относительно положения равновесия также подчиняется волновому уравнению. Скорость звуковых волн в газах определяется следующим выражением

(22)

где и - давление и плотность невозмущенного волной газа, отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.

Стоячие волны.

В предыдущих параграфах мы рассматривали волны, распространяющиеся в безграничной среде. В ограниченном пространстве при возбуждении колебаний частиц среды возникает сложный волновой процесс за счет наложения первичной падающей волны и волн, отраженных от границ среды, а также от неоднородностей в самой среде.

Рассмотрим простейший случай наложения двух плоских волн одинаковой амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу. Возникающий в результате волновой процесс называют стоячей волной. Практически стоячие волны можно получить при отражении плоской волны от плоского препятствия. Плоская волна, распространяющаяся в положительном направлении оси описывается уравнением

Плоская волна, распространяющаяся в отрицательном направлении уравнением

Складывая почленно оба уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получим

(23)

Используя определение волнового числа, формуле (23) можно придать следующий вид:

(24)

где - амплитуда колебаний, зависящая от координаты .

Уравнение (24) является уравнением стоячей волны. Из него следует, что колебания любой частицы среды в стоячей волне совершаются с той же частотой, что и в исходных плоских волнах. Однако амплитуда колебаний различных частиц неодинакова, она зависит от координаты . Амплитудой можно назвать модуль выражения перед в формуле (24). В точках, где

, (25)

амплитуда колебаний достигает максимального значения . Эти точки называют пучностями стоячей волны. Из соотношения (24) можно получить координаты пучностей:

, (26)

В точках, где

, (27)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называют узлами стоячей волны. Частицы среды, находящиеся в узловых точках, не совершают колебаний. Координаты узловых точек определяются соотношением

, (28)

Из формул (26) и (28) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно .

Выражение в формуле (24) при переходе через нулевое значение меняет знак. Это означает, что фаза колебаний частиц среды разделённых узловой плоскостью, отличается на . Все частицы среды, находящиеся между соседними узловыми совершают колебания в одинаковою фазе, но с различными амплитудами. Рисунок 5 поясняет эти выводы.

Первый график изображает распределение смещений в момент времени , когда они максимальны. Второй - через четверть периода. Стрелками показаны направление и величина скоростей частиц среды, проходящих в момент времени положение равновесия. И третий график показывает распределение смещений через полпериода. Если стоячие волны возбуждены на струне с закрепленными концами, то в местах закрепления должны находиться узловые точки. Поэтому на струне при фиксированном натяжении возбуждаются колебания такой частоты, которая находится из условия: на длине струны укладывается целое число полуволн:

или , (29)

Длинам волн соответствуют частоты

, (30)

где - определяется по формуле (21) и постоянна при фиксированном натяжении струны. Частоты называют собственными частотами колебаний струны. Аналогичная ситуация возникает при возбуждении стоячих звуковых волн в отрезке трубы, закрытом с торцов жёсткими крышками.

Поиск по сайту: