Уравнение плоской волны

Одним из распространённых типов движения является волновое движение. Если в каком-либо месте упругой среди (жидкой, твёрдой или газообразной) возбудить колебания её частиц, то за счёт взаимодействия между ними эти колебания будут передаваться от частицы к частице с определённой скоростью . Процесс

распространения колебаний, в неограниченной среде называют бегущей волной.

Частицы среды, в которой распространяется упругая волна, совершают колебания около положения равновесия. Если колебания частиц происходят вдоль направления распространения, такие волны называют продольными, если перпендикулярно — поперечными. Продольные волны могут распространяться в газах, жидкостях и твёрдых телах. Механические поперечные волны могут распространяться только в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Таким образом, поперечные волны могут распространяться только в твёрдых телах.

Пусть в безграничной среде вдоль направления распространяются упругие волны. Для описания волнового, движения, как и колебательного, необходимо использовать смещение частиц среды относительно их положения равновесия. На рис. 1 изображено смещение частиц среды относительно положения равновесия как функция координаты .

В случае волнового движения можно определить характерное расстояние для данного вида движения, как кратчайшее расстояние между частицами среды, совершающими колебания в одинаковой фазе. Это - длина волны (см. рис. 1). С другой стороны, длина волны – это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц:

(1)

Период колебаний частиц связан с частотой известным соотношением Тогда

(2)

Мы рассматриваем распространение колебаний в безграничной среде, поэтому в общем случае смещения частиц относительно положения равновесия будут зависеть от времени и координат:

Функция должна быть периодической относительно времени , так как она должна описывать колебания любой частицы среды, имеющей координаты положения равновесия . В тоже время она должна быть периодической функцией координат, так как частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии вдоль направления распространения, совершают колебания одинаковым образом.

Если для какого-то конкретного случая можно выбрать систему координат, в которой смещения частиц среды в волне зависят от одной лишь координаты, такие волны называют плоскими. Для них , если ось совместить с направлением распространения волны.

Геометрическое место точек, совершающих одинаковой фазе, называют волновой поверхностью. Геометрическое место точек, до которых дошли колебания в момент времени , называют фронтом волны. Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлечённую в волновой процесс, от области, в которой колебания ещё не возникли. В случае плоской волны волновые поверхности и фронт волны являются плоскими поверхностями.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в положительном

направлении оси (рис. 2). Пусть в плоскости частицы среды совершают колебания по гармоническому закону

(3)

где - амплитуда колебаний. Вследствие взаимодействия между частицами колебания будут передаваться другим частицам среды и дойдут до плоскости через время :

(4)

где - скорость распространения волны. Тогда колебания частиц в плоскости будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости :

(5)

Итак, уравнение бегущей плоской волны можно записать в виде:

(6)

Оно описывает смещение любой частицы среды, имеющей координату положения равновесия , в любой момент времени . Этому уравнению можно придать иную форму, если использовать так называемое волновое число :

(7)

Из формул (1) и (7) следует связь между циклической частотой и , скоростью и волновым числом :

(8)

С учетом этого выражения уравнение плоской волны можно записать в виде:

(9)

Поиск по сайту: