Определение модуля Юнга

Раздел: «Изучение деформаций»

Издательство Тюменского государственного университета, 1999

Работа утверждена на заседании кафедры механики многофазных систем 06.07.1998 г.

Методические указания, предназначенные для студентов первого курса физического факультета, полностью соответствуют действующим программам курса общей физики и физического практикума.

Данные методические указания отличаются доходчивостью и ясностью изложения основных вопросов одного из важнейших разделов курса механики, описывающего деформации

Экспериментальная часть методических указаний написана в соответствии с техническими характеристиками нового класса

лабораторных работ по курсу механики.

Рецензент:

зав. каф. радиофизики, к.ф.-м.н. В.А. Михеев

© Тюменский государственный университет, 1999.

© Семихин В. И., Семихина Л.П., Зырянова М.В. 1999.

ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Определение модуля Юнга.

Принадлежности: прибор, линейка, штангенциркуль, исследуемый стержень.

Изменение формы или объема твердого тела под действием внешних сил называется деформацией. Упругой называется деформация, исчезающая с прекращением действия силы. Свойство материала восстанавливать свою форму и объем называется упругостью.

Деформация, остающаяся в теле после прекращения действия сил, называется остаточной, или пластической деформацией. Остаточная деформация характеризует свойство, называемое пластичностью. Упругость и пластичность присущи всем твердым телам.

Деформация, возникающая в телах в зависимости от действия силы, подразделяется на следующие виды: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб.

I. Растяжение.

Деформации растяжения подвергаются тела, к которым приложены две силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны, при этом увеличивается длина тела, не сохраняется сечение тела (рис. 1). Деформацию растяжения испытывают тросы, канаты, цепи в подъемных транспортных устройствах и др.

II. Сжатие.

Деформацией сжатия подвергаются тела, к которым приложены силы, направленные по одной прямой навстречу друг другу, при этом происходит уменьшение длины тела и увеличение поперечного сечения (рис. 2). Деформацию сжатия испытывают столбы, колонны, стены, фундаменты домов и др.

III. Сдвиг.

Часто тела подвергаются боковому действию. При этом, возникающие силы стремятся сместить одну его часть относительно другой. Возникающая деформация в этом случае называют сдвигом (рис. 3). Деформацию сдвига подвергаются болты и заклепки, соединяющие отдельные конструкции при боковых нагрузках.

IV. Кручение.

Если один конец стержня закрепить, а к другому концу приложить пару сил, действующих в плоскости, перпендикулярно оси стержня, он деформируется. Этот вид деформации называется деформацией кручения.

При деформации кручения отдельные слои тела остаются параллельными между собой, но повернутыми друг относительно друга (рис. 4). Деформации кручения подвергаются валы машин, передающие вращающий момент, болты при завинчивании гаек.

V. Изгиб.

Детали, у которых один конец закреплен, а к другому приложена сила, изгибаются (рис. 5). Прямолинейная ось детали превращается в криволинейную. Наибольший прогиб в направлении, перпендикулярном оси, называют стрелой прогиба. Деформации изгиба подвергаются детали, подпертые с двух сторон и нагруженные между опорами (рис. 6).

При деформации изгиба наружные слои вещества детали на вогнутой стороне подвергаются сжатию, а выпуклой — растяжению. Между ними лежит слой, который изменил только свою форму, но длина осталась без изменения. Этот слой называется нейтральным слоем. Вблизи от нейтрального слоя вещества почти не испытывают сжатия или растяжения. Поэтому сплошные детали, подвергающиеся изгибу, заменяют трубами, балки делают тавровыми (в виде T) или двутавровыми (в виде Н). Это облегчает вес конструкции и экономит металл. По этому пути шло развитие в природе. Кости животных, стебли растений имеют трубчатое строение.

В случае, когда необходимо, чтобы тело сохраняло свою форму, используют упругую деформацию.

При изготовлении деталей ковкой, штамповкой, волочением, прокатом, используют пластическую деформацию.

Упругая деформация описывается законом, установленным Гуком. По закону Гука величина деформации пропорциональна действующей силе.

(1)

где - коэффициент пропорциональности, постоянная величина для данного твердого тела.

Рассмотрим закон Гука применительно к деформации растяжения. Представим себе

однородный стержень длиной с площадью поперечного сечения , один конец которого закреплен, а к другому приложена сила , (рис. 7).

Под действием силы стержень испытывает упругую деформацию и увеличивает свою длину на некоторою величину . Величина называется абсолютным удлинением. Абсолютное удлинение пропорционально силе , приложенной к стержню, длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения .

(2)

где - коэффициент линейного растяжения или упругости. Это одна из формулировок закона Гука для деформации растяжения.

Обычно деформацию тел характеризую не абсолютной деформацией , а относительным изменением длины или относительной деформацией . Так как равные силы у стержней одной длины и одного материала, но разного сечения вызывают неодинаковые деформации, то вводят величину называемую напряжением: т. е. силу, приходящуюся на единицу площади. Тогда формула (2) принимает вид:

(3)

Закон Гука для деформации растяжения можно сформулировать следующим образом: относительное удлинение в пределах упругости пропорционально напряжению. Чаще упругие свойства материала характеризуются величиной, обратной коэффициенту упругости:

(4)

которую называют модулем Юнга. Подставим в (3) вместо модуль Юнга , получаем

(5)

Из формулы имеем:

(6)

Если бы стержень подвергался такой деформации, что его длина возросла бы в двое, т.е. и относительное удлинение стало бы , то получилось бы , т. е. модуль Юнга есть величина,

численно равная напряжению, при котором относительное удлинение стержня равно 1. Таков физический смысл модуля Юнга.

При упругой деформации изгиба, величина деформации определяется стрелой прогиба , т. е. перемещением нейтрального слоя под действием сил. Стрела прогиба будет тем больше, чем больше нагрузка, кроме того она зависит от формы, размера стержня и его упругих свойств. Для прямолинейного стержня, закрепленного на концах и нагруженного на середине, закон Гука имеет следующий вид:

(7)

где - нагрузка, - расстояние между опорами, - ширина стержня, - модуль Юнга, - высота. Из формулы (7) определяем

(8)

Целью данной работы является определение величины модуля упругости из деформации изгиба прямоугольных стержней.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ.

Для определения упругости используется прибор, изображенный на рис. 8. Где А-образные стойки 1 (связанные жестко тремя стержнями), 2 на верхних площадках стоек укреплен индикатор часового типа 3. На призмы помещен стержень 5, модуль которого подлежит измерению. На стержень навешивается стремя с призмой 4. Острие призмы размещается над шариком индикатора. После этого на стремя навешивают груз (вес грузов указан на них). Отсчитывают каждый раз, на сколько делений индикатора прогибается стержень. Для перевода показаний индикатора в миллиметры нужно число делений их умножить на 0. 01 мм, т. е. цена одного деления индикатора равна 0.01 мм. Перед началом измерения индикатор устанавливают на нуль поворотом шкалы за накатанный ободок.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

1. Измерить расстояние между остриями призм раз.
2. Измерить в различных точках по длине стержня его высоту и ширину , также раз.
3. Результаты измерений записать в таблицу 1. Рассчитать средние значения L, Ь, а, а также среднеквадратичные ошибки.

Таблица 1.

1. Установить стержень на опорные призмы и установить в нулевое положение шкалу индикатора деформации стержня.
2. Прикрепляя к стремени последовательно грузы 1 кг, 2 кг и т. д. снять зависимость деформации (стелы прогиба) от нагрузки. При каждой нагрузке измерения проводят несколько раз, т. е. прикрепляя груз к стремени и вновь снимая его, всякий раз записывая показания индикатора. Результаты измерения записать в таблицу 2.

Таблица 2.

1. По результатам измерений построить график зависимости от нагрузки .
2. По графику определить отношение для точки на графике, отстоящей достаточно далеко от начала координат.
3. По формуле (8) рассчитать модуль Юнга материала, используя полученное значение и результаты измерения , , , . Все величины выразить в системе СИ.
4. Составить формулу для определения погрешности модуля Юнга и рассчитать ее.
5. Окончательный результат: .

ЛИТЕРАТУРА.

1. Фриш С.Э. и Тимофеева А.В., Курс общей физики.
2. Шугалова А.Н., Физика, 27-29.
3. Путилов K.A., Курс физики, 46-53.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Что такое деформации?
2. Какие виды деформации встречаются на практике?
3. Для каких деформаций применяется закон Гука?
4. От чего зависит модуль Юнга?
5. Выполняется ли закон сохранения энергии для деформаций?

Поиск по сайту: