Рух частинки у центральному полі

Тема: Задача двох тіл та рух частинки у центрально-симетричному полі

План:

1. Задача двох тіл.
2. Рух частинки у центральному полі.
3. Закони Кеплера.
4. Космічні швидкості.

Література:

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. Пособие. –В 10-ти т. Т.1. Механика. – М.: Наука, 1988, §§11–15.

2. И.В. Савельев. Основы теоретической физики, т. 1. – М.: Наука, 1975, §§11–12.

3. А.М. Федорченко. Класична механіка і електродинаміка. – К.: Вища школа, 1992, §§11–12.

4. В.В. Мултановский. Курс теоретической физики: Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика: учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1988, §27

5. Н.И. Жирнов Классическая механика: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1980, §§13,14,17–19

Задача двох тіл

Задача про рух двох частинок, що взаємодіють між собою, зводиться до задачі одного тіла і розв’язується повністю.

Вона може бути зведена до двох задач (одночастинних): задачі про рух центру мас; рух точки зведеної маси відносно центру мас.

Нехай, ми маємо систему з двох частинок масами і .

Між ними діють сили взаємодії, а зовнішні сили відсутні. Тоді, рівняння, що описують рух цих частинок окремо матимуть вигляд:

(1)

Оберемо нову систему відліку – систему із початком у центрі мас цих двох частинок.

(2)

Ця система рухається із постійною швидкістю. Коли центр (початок координат) нової системи співпадає із точкою , то , тоді і – радіус-вектори і відносно , тоді маємо, що

. (3)

Значить, якщо знайти , тоді – обчислити легко.

Введемо ще одну величину – відносну координату: ,

тоді, помножуючи праву і ліву частину цього рівняння на отримаємо:

(4)

Враховуючи рівняння (3) матимемо:

і підставимо в (4):

,

тоді матимемо, що:

;

.

Тоді для швидкостей:

; (5)

А рівняння руху (1) набудуть вигляду:

Позначимо за й назвемо цю величину зведеною масою

Рух частинки у центральному полі

Як відомо, центрально-симетричне поле – це поле, в якому потенціальна енергія є функцією лише від віддалі від нерухомого центра до рухомої матеріальної точки, т. т.

Коли ми маємо дві матеріальні точки, то як ми вже бачили у попередньому питанні, їх рух може бути описаний в Ц-системі (системі пов’язаної із центром мас системи) як рух точки зведеної маси, т.т. зводиться до руху однієї точки..

Як відомо, момент імпульсу матеріальної точки у центрально-симетричному полі є інтегралом руху, тобто зберігається за модулем і за напрямком, а якщо так і – лежать в одній площині перпендикулярній до , що не змінює свого положення в просторі або іншими словами: рух – плоский. Траєкторія такого руху – плоска крива, а ому така тачка має лише дві ступені вільності.

Тому для опису руху точки у центрально-симетричному полі зручно використати полярну систему координат: полюс (сумістити із центром мас системи – ), радіус вектор (його довжина ( ), азимут – . Тобто площина співпадає з полярною системою координат ; .

Тоді у цій системі відліку момент імпульсу матеріальної точки має вигляд:

Отже, (1)

Повна енергія такої матеріальної точки:

, або ;

(2)

А тепер намітимо шлях розв’язання основної задачі механіки. Використовуючи отримані нами інтеграли руху (1) і (2) можна відшукати рівняння траєкторії матеріальної точки, а саме:

і

Оскільки , тому ; , значить

, (3)

де – відцентрова потенціальна енергія.

Таким чином, можна ввести поняття ефективної потенціальної енергії:

(4)

Ефективний потенціал (4) складається з двох доданків, кожний з яких є функціями лише координати і ефективний потенціал є функцією від , а тому отримане рівняння :

допускає розділення змінних:

;

;

(5)

Обчислити інтеграл (а це можна зробити врахувавши відповідні граничні умови) можна відшукати і .

Після цього:

; ; ;

Можна одержати рівняння руху і в загальному вигляді:

; ;

(6)

Це і є рівняння траєкторії .

Відзначимо особливості одержаних результатів.

p З формули (6) випливає, що не змінюється, а тому – змінюється монотонно.

p може перетворюватись в нуль в точках де відповідно до рівняння (3):

;

Ці точки називають точками повороту, в них змінюється , а переходить від зростання до спадання і навпаки.

Область допустимих значень визначається з умови:

Коли ця умова виконується тоді , причому і відмінні від і й рух частинки вважається фінітний, коли , то рух – інфінітний.

Закони Кеплера.

Одна з найцікавіших і найважливіших задач – є задача про рух в полі сил тяжіння. Задачу про рух двох частинок, які взаємодіють за законом:

(1)

Оскільки це поле є центрально-симетричним, тоді для нього годяться всі висновки, які ми отримали вище.

Але ми для розв’язання задачі Кеплера скористаємось дещо іншим прийомом для відшукання траєкторії руху частинки в так-званому кулонівському полі.

Відшукаємо лагранжіан точки зведеної маси:

; (2)

Кінетична енергія точки:

;

;

; ; :

; (3)

Потенціальна енергія точки:

;

Для центрально-симетричного поля:

;

Враховуючи також формулу (1), матимемо:

;

;

;

;

. (4)

Нехай і із урахуванням (3) і (4) рівняння (2) матиме вигляд:

(5)

Як відомо і – циклічна координата.

Значить:

(6)

А тому, використовуючи перше рівняння Лагранжа, матимемо:

.

Окрім того:

– секторна швидкість матеріальної точки, де:

,

Тоді із урахуванням рівняння (5) – (6) матиме зміст подвійної секторної швидкості:

. (7)

Тепер складемо друге рівняння Лагранжа:

;

Враховуючи (3), матимемо:

; .

Далі:

,

отже:

;

. (8),

Тоді:

. (9)

Ця величина за звичай близька до одиниці, бо .

Скористаємось інтегралом площини (7), тоді одержимо, що інтеграл площини

(10)

і рівняння (8) матиме вигляд:

;

. (11)

Для інтегрування цього рівняння виконаємо заміну через .

Для цього використаємо інтеграл площини (10), тобто:

;

.

Тоді рівняння (11) матиме вигляд:

.

Щоб спростити це диференціальне рівняння виконаємо заміну, нехай:

(12)

Тоді

,

отже:

(13)

значить, , тоді:

;

Враховуючи (13):

;

;

(14)

Це диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами і розв’язується згідно загальних правил:

1) .

2)

Його характеристичне рівняння матиме вигляд:

;

, тобто матимуть уявні значення, тому:

Тобто загальний розв’язок цього однорідного рівняння:

,

або

,

де і – довільні сталі. Отже остаточно:

або ;

(15)

Таким чином, загальний інтеграл (15) дає рівняння кривої другого порядку у полярних координатах:

, де ,

– параметр кривої, – ексцентриситет кривої.

Ми бачимо, що рух тіла маси в полі сили тяжіння тіла маси приводить до траєкторії кривої другого порядку, де:

– параметр цієї кривої, а

– ексцентриситет цієї кривої, причому

– це подвійна секторна швидкість руху точки;

, де – гравітаційна стала;

;

– стала інтегрування, що визначається повною енергією тіла маси .

Як відомо, характер кривої другого порядку визначається величинами і .

Як ми вже бачили, інтеграл енергії має в цьому випадку вигляд:

, де – ефективний потенціал;

А кінетична енергія радіального руху:

.

Побудуємо графік залежності ефективного потенціалу від відстані до силового центру і проведемо прямі для різних значень повної енергії.

Умова виконується для наступних рухів:

1. , тоді . Такий рух буде інфінітний і відповідає гіперболічній траєкторії.

2. , тоді . Рух також інфінітний і відбувається за параболічною траєкторією.

3. , тоді . Рух фінітний і за еліптичною траєкторією.

4. , тоді . Рух фінітний і по колу.

Таким чином, розв’язуючи задачу Кеплера ми можемо також дуже легко встановити закони Кеплера:

Перший закон Кеплера: Всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

Квадрати періодів планет відносяться до кубів півосей для всіх планет майже однаково (адже – величина мала).

Розглянуту тут теорію можна було б застосувати і до атома водню. Однак у цьому разі теорія не узгоджується з експериментом, бо класична механіка тут не застосовна, і атом водню треба описувати за допомогою квантової механіки.

Безумовно, всі три закони Кеплера справедливі для руху як природних так і штучних супутників планет. Варто, одна пам’ятати, що ці закони виконуються лише в тих умовах, в яких вони одержані. Зокрема ми припустили, що на кожну планету діє гравітаційна сила тільки з боку Сонця і що взаємодія між планетами незначна. Завдяки великій масі Сонця, рух планет визначається в основному Сонцем, проте взаємодією між планетами не завжди можна знехтувати. Повчальною є історія відкриття планети Нептун. Було помічено, що траєкторія планети Уран (на той час остання з відомих планет Сонячної системи) в певний момент часу помітно відхилялася від еліпса. У. Лавер’є припустив, що це відхилення пожна пояснити дією на планету Уран іншої, ще невідомої планети. Виходячи з цього припущення, Лавер’є підрахував, якою мають бути її маса і траєкторія, щоб відхилення орбіти від точного еліпса збіглося з цими спостереженнями. Знаючи траєкторію, Лавер’є зміг також визначити координати цієї планети в будь-який момент часу. Справді, 23 вересня 1846 р. Й. Галле знайшов у визначеному місці цю планету, яку потім назвав Нептуном. Так, „на кінчику пера” було відкрито нову планету. Це була перемога людського розуму, який спирався на знання законів природи.

Космічні швидкості.

Висновки з попередніх питань повністю можна поширити і на рух штучних супутників Землі та космічних кораблів. При цьому нехтуватимемо опором повітря і, якщо тіла рухаються біля поверхні Землі, не враховуватимемо сил гравітаційного тяжіння Сонця, Місяця та планет.

Повна енергія супутника або космічного корабля у полі земного тяжіння:

, (1)

де і – відповідно маса супутника і Землі, – відстань супутника від центра Землі.

Як вже зазначалося рух буде обмеженим, тобто відбуватиметься по еліптичні траєкторії, якщо . Окремим випадком такого руху буде рух по коловій траєкторії. При цьому сила тяжіння відіграє роль доцентрової сили, тобто:

Звідси дістанемо, що

Взявши, що м/с², м, дістанемо, що м/с км/с.

Швидкість, яку повинен мати супутник, щоб рухатися по коловій орбіті навколо Землі, називають першою космічною швидкістю.

Поиск по сайту: