До вантажу 1 (рис. 2.6) масою m1=20кг прив’язаний трос, який перекинутий через нерухомий блок 4 і другий кінець якого закріплений на поверхні шківа 2 радіусом r2 (m2=2кг). Механічна система приводиться до руху моментом прикладеним до ступінчатого шківа 3 масою m3=3кг.
Знайти закон руху вантажу 1, якщо на тіло 2 діє момент опору МОП = 15 Н×м і при t=0 кутова швидкість тіла 3 - = . Більший радіус у шківа 2, R2=0,4м, менший – r2 = 0,2м, радіус інерції – і2=0,3м. Тіла 3 та 4 мають однакові маси m3=m4 і розміри R3=R4=0,3м. Тіла 2,3 та 4 обертаються навколо горизонтальних нерухомих осей, а тіло 1 переміщується поступально.
Рисунок 2.6
Розв’язання. Розглянемо окремо рух тіл 2 і 3 та рух тіл 1 і 4.
До тіла 3 (рис. 2.7) прикладені зовнішні сили : пара сил з моментом М, сила тяжіння P3=m3g, реакції циліндричного шарніра X3 і Y3, реакції тіла 2 – колове зусилля S3 і сила нормального тиску N3.
Запишемо диференціальне рівняння обертання тіла 3 навколо нерухомої осі враховуючи, що якщо момент зовнішніх сил діє у напрямку руху тіла, тоді записуємо його з додатним знаком.
де - момент інерції тіла відносно осі z, - кутове прискорення тіла 3, - момент зовнішніх сил, прикладених до тіла 3, відносно осі z.
Рисунок 2.7
. (2.1)
Початкові умови :
при t=0, , . (2.2)
На тіло 2 діють такі зовнішні сили: сила тяжіння P2=m2g, реакції циліндричного шарніра X2 та Y2, натяг троса S2 (трос працює тільки на розтяг), реакції тіла 3 – та , які за третім законом Ньютона направлені в протилежні сторони сил S3 та N3 (рис. 2.7).
Диференціальне рівняння обертання тіла 2 (рис. 2.8) навколо горизонтальної осі Z.
(2.3)
де - момент інерції тіла 2 відносно осі Z.
Оскільки , то рівняння (2.3) запишеться у вигляді
(2.4)
До тіл 1 та 4 (рис . 2.9) прикладені зовнішні сили: сили тяжіння P1=m1g та P4=m4g, реакція троса , реакції циліндричного шарніра X4 та Y4.
Рисунок 2.8
Теорема про зміну кінетичного моменту для тіл 1 та 4 (рис. 2.9) в проекціях на вісь Z запишеться:
Рисунок 2.9
(2.7)
де lZ – кінетичний момент системи тіл 1 та 4 відносно осі Z, - головний момент зовнішніх сил.
Кінетичний момент LZ складається із моменту кількості руху LZ1 тіла 1 та кінетичного моменту LZ4 тіла 4 відносно осі Z
Враховуючи, що , а ,кінетичний момент системи LZ визначимо за формулою
Тепер диференціальне рівняння (2.7) набуває вигляду
(2.8)
Якщо до диференціальних рівнянь (2.1), (2.4), (2.8) додати кінематичні співвідношення
(2.9)
тоді отримаємо систему шести рівнянь в які входять невідомі:
Розв’язуючи систему рівнянь (2.1), (2.4), (2.8), (2.9) маємо:
З урахуванням того, що m1=20кг, m2=2кг, m3=m4=3кг, r2=0,2м, R2=0,4м, і2=0,3м, R3=R4=0,3м, М=(16+11t2) , M0=15 , g=9,81 , отримаємо
. (2.20)
Для визначення закону руху тіла 1, інтегруємо двічи диференціальне рівняння (2.20), беручи до уваги початкові умови (2.2)